의학계 1번

논제I-(1)

왼쪽 그림과 같이 좌표평면위에 반지름이 1인 원과 정삼각형 $\displaystyle ABC$를 생각한다. 그러면, 점 $\displaystyle A$와 점 $\displaystyle B$의 좌표는 각각 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$, $\displaystyle \left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right)$이 된다. 삼각형 $\displaystyle OAB$와 $\displaystyle OAC$, $\displaystyle OBC$는 모두 합동이므로, 삼각형 $\displaystyle OAB$ 내부의 점은 변 $\displaystyle AB$와의 거리가 다른 변과의 거리보다 작다. 그래서 삼각형 $\displaystyle OAB$ 내부에서 논제에 주어진 영역의 넓이를 구하고 그 영역의 3배를 하면 원하는 영역의 넓이를 구할 수 있다. 그럼 삼각형 $\displaystyle OAB$ 내부에서 주어진 영역을 구하여보자.

삼각형 $\displaystyle OAB$ 내부의 점 $\displaystyle (x,y)$가 무게중심 $\displaystyle O$와의 거리보다 변 $\displaystyle AB$와의 거리가 더 크거나 같다고 가정하자. 그러면, 부등식 $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}\le\frac12-y$를 만족한다는 것을 알 수 있다. 양변을 제곱하여 정리하면, 부등식 $\displaystyle y\le\frac14-x^2$이 된다. 삼각형 $\displaystyle OAB$ 내부에서 앞의 부등식을 만족하는 영역을 구하면 되므로, 포물선 $\displaystyle y=\frac14-x^2$과 선분 $\displaystyle OA$를 나타내는 직선 $\displaystyle y=\frac1{\sqrt3}x$과의 교점을 먼저 구한다. 2차방정식을 통해 계산하면, 그 교점의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac1{2\sqrt3},\frac16\right)$이 된다.

따라서, 구하고자 하는 전체 영역의 넓이는 $\displaystyle 2\cdot3\cdot\left(\int_0^{1/(2\sqrt3)}\left(\frac14-x^2\right)dx-\frac12\frac1{2\sqrt3}\frac16\right)=\frac5{12\sqrt3}$이다.

논제I-(2)

논제I-(1)에서와 같은 방법을 사용하면 아래 그림과 같은 이등변 삼각형 $\displaystyle OAB$만을 고려하면 구하고자 하는 영역의 넓이를 계산할 수 있다. 여기에서 점 $\displaystyle A$의 좌표는 $\displaystyle \left(\sin\frac\pi n,\cos\frac\pi n\right)$이다. 편의상 $\displaystyle s_n=\sin\frac\pi n$, $\displaystyle c_n=\cos\frac\pi n$이라 하자. 그러면, 논제I-(1)에서와 같이, 구하고자 하는 영역의 점 $\displaystyle (x,y)$는 $\displaystyle x^2+y^2\le(c_n-y)^2$을 만족한다. 이를 정리하면, $\displaystyle y\le\frac{c_n}{2}-\frac1{2c_n}x^2$이 된다. 영역의 경계인 포물선 $\displaystyle y=\frac{c_n}{2}-\frac1{2c_n}x^2$과 선분 $\displaystyle OA$를 나타내는 직선 $\displaystyle y=\frac{c_n}{s_n}x$의 교점을 구하면 $\displaystyle \left(\frac{c_n(1-c_n)}{s_n},\frac{c_n^2(1-c_n)}{s_n^2}\right)$이 된다. 따라서, 구하고자 하는 전체 영역의 넓이는 $\displaystyle 2n\left(\int_0^{c_n(1-c_n)/s_n}\frac{c_n}{2}-\frac1{2c_n}x^2dx-\frac12\frac{c_n(1-c_n)}{s_n}\frac{c_n^2(1-c_n)}{s_n^2}\right)$이다. 이를 정리하면, $\displaystyle \frac{nc_n^2(1-c_n)^2(2+c_n)}{3s_n^3}$이 된다. $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$이고, 이를 이용하면, $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12$임을 알 수 있으므로, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}ns_n=\pi$이고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^2(1-c_n)=\frac{\pi^2}{2}$이 된다. 그러므로, 극한값은 $\displaystyle \frac\pi4$가 된다.

논제I-(3)

세로의 길이가 2이고 가로의 길이가 3인 직사각형을 왼쪽 그림과 같이 좌표평면에 놓고 논제I-(1)과 논제I-(2)에서와 같은 방법으로, 제1사분면에서의 영역을 고려하고 4배를 하여 전체 영역의 넓이를 구하고자 한다.

직사각형 내부에서 제1사분면에 있는 점 $\displaystyle (x,y)$와 무게중심 $\displaystyle O$와의 거리가 윗변과의 거리보다 작거나 같다면 $\displaystyle x^2+y^2\le(1-y)^2$을 만족하고 이를 정리하면 $\displaystyle y\le\frac12-\frac12x^2$이 된다. 또한 점 $\displaystyle (x,y)$와 무게중심 $\displaystyle O$와의 거리가 오른쪽 변과의 거리보다 작거나 같다면 $\displaystyle x^2+y^2\le\left(\frac32-x\right)^2$을 만족하고 이를 정리하면 $\displaystyle y\le\sqrt{\frac94-3x}=\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{3-4x}$이 된다. 따라서 앞선 두 부등식 모두를 만족하는 영역의 넓이를 구하면 된다. 두 영역의 경계선이 만나는 교점은 방정식 $\displaystyle (1-x)^2(1+x)^2=3(3-4x)$을 해결하면 된다. 두 영역의 경계선이 되는 포물선의 그래프를 보면 제1사분면에서는 한 점에서 만난다는 것을 알 수 있으므로, 이 방정식은 제1사분면에서 1개의 실근을 갖는다는 것을 알 수 있다. 앞의 방정식은 $\displaystyle (1+x)^2((1+x)^2-4x)=3(3-4x)$로 표현되기 때문에, $\displaystyle (1+x)^2=3$이 되고, $\displaystyle x=\sqrt3-1$인 실근을 갖는다.

따라서 구하고자 하는 전체 영역의 넓이는 $\displaystyle 4\left(\int_0^{\sqrt3-1}\left(\frac12-\frac12x^2\right)dx+\int_{\sqrt3-1}^{3/4}\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{3-4x}\,dx\right)$이고, 이를 정리하면, $\displaystyle \frac{20\sqrt3-31}{3}$이다.

논제I-(4)

논제I-(3)과 같은 방법을 사용하면 문제를 해결할 수 있는데, 위의 그림에서 3/2를 $\displaystyle t$로 생각하면 된다. 따라서 부등식 $\displaystyle y\le\frac12-\frac12x^2$과 $\displaystyle y\le\sqrt t\sqrt{t-2x}$을 만족하는 영역의 넓이를 구하도록 하자. 포물선 $\displaystyle y=\frac12-\frac12x^2$의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle (1,0)$, $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle \left(0,\frac12\right)$이고, 포물선 $\displaystyle y=\sqrt t\sqrt{t-2x}$의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle \left(\frac t2,0\right)$, $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle (0,t)$이므로, $\displaystyle t\ge2$인 경우 두 영역의 경계선은 제1사분면 내부에서 만나지 않고, $\displaystyle 1\le t<2$인 경우에만 만난다.

(i) $\displaystyle t\ge2$인 경우; 제1사분면에서 구하고자 하는 영역은 부등식 $\displaystyle y\le\frac12-\frac12x^2$을 만족하는 영역이므로, 전체 영역의 넓이는 $\displaystyle 4\left(\int_0^1\left(\frac12-\frac12x^2\right)dx\right)$이고, 계산하면 $\displaystyle \frac43$가 된다.

(ii) $\displaystyle 1\le t<2$인 경우; 방정식 $\displaystyle (1-x^2)=2\sqrt t\sqrt{t-2x}$를 해결하면 교점을 구할 수 있는데, 그 방정식의 양변을 제곱하고 정리하면 방정식 $\displaystyle (1+x)^2((1+x)^2-4x)=2t(2t-4x)$을 얻을 수 있다. 따라서 $\displaystyle (1+x)^2=2t$이 되고 $\displaystyle x=\sqrt{2t}-1$인 실근을 갖는다. 그러므로 구하고자 하는 전체 영역의 넓이는 $\displaystyle 4\left(\int_0^{\sqrt{2t}-1}\left(\frac12-\frac12x^2\right)dx+\int_{\sqrt{2t}-1}^{t/2}\sqrt t\sqrt{t-2x}\,dx\right)$이고, 이를 정리하면, $\displaystyle \frac43\left(t-(t-\sqrt{2t}+1)^2\right)$이다.

두 영역의 그림을 그려보면 알 수 있듯이, $\displaystyle \sqrt{2t}-1\le x\le\frac t2<1$의 범위에서 $\displaystyle \sqrt t\sqrt{t-2x}\le\frac12-\frac12x^2$이므로, $\displaystyle 1\le t<2$인 경우 $\displaystyle t$가 크면 클수록 영역의 넓이가 커지고, 이때의 넓이는 $\displaystyle t=2$일 때의 넓이인 $\displaystyle \frac43$보다 작다. 따라서 $\displaystyle t\ge2$인 경우에 최대넓이 $\displaystyle \frac43$로서 일정한 넓이를 가지므로, 주어진 영역의 최대가 되는 $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle t\ge2$인 모든 실수가 된다.