자연계열 1번

$\displaystyle \overline{(\overline a)}=\overline{y-x\sqrt3}=y-(-x)\sqrt3=y+x\sqrt3=a$

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{a+b}&=\overline{y+z+(x+w)\sqrt3}=y+z-(x+w)\sqrt3\\&=y-x\sqrt3+z-w\sqrt3=\overline a+\overline b\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{a-b}&=\overline{y-z+(x-w)\sqrt3}=y-z+(-x+w)\sqrt3\\&=y-x\sqrt3-(z-w\sqrt3)=\overline a-\overline b\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\overline{ab}&=\overline{(y+x\sqrt3)(z+w\sqrt3)}=\overline{yz+3xw+(yw+xz)\sqrt3}\\&=yz+3xw-(yw+xz)\sqrt3=(y-x\sqrt3)(z-w\sqrt3)=\overline a\,\overline b\end{aligned}$

[논제 Ⅰ-2](1) $\displaystyle L$의 두 원소 $\displaystyle (x,y)$와 $\displaystyle (z,w)$에 대하여 $\displaystyle (x,y)\ne(z,w)$이면 $\displaystyle x\ne z$ 또는 $\displaystyle y\ne w$이므로,

제시문 [가]에 의해 $\displaystyle y+x\sqrt3\ne w+z\sqrt3$이다. $\displaystyle f((x,y))\ne f((z,w))$이므로 제시문 [다]에 의하여 $\displaystyle f((x,y))=y+x\sqrt3$는 일대일 함수이다.

함수 $\displaystyle f$의 공역 $\displaystyle B$에 있는 임의의 원소 $\displaystyle y+x\sqrt3$에 대하여 $\displaystyle a\overline a=(y+x\sqrt3)(y-x\sqrt3)=y^2-3x^2=1$이므로 $\displaystyle (x,y)$는 쌍곡선위의 정수좌표점이다.

따라서 $\displaystyle f((x,y))=y+x\sqrt3$인 원소 $\displaystyle (x,y)$가 $\displaystyle L$에 존재하므로 $\displaystyle y+x\sqrt3$은 $\displaystyle f$의 치역에 속한다. $\displaystyle f$의 공역과 치역이 같고 일대일함수이므로 제시문 [다]에 의하여 $\displaystyle f((x,y))=y+x\sqrt3$는 일대일 대응이다.

(2) $\displaystyle B$의 원소 $\displaystyle a=y+x\sqrt3$에 대하여, $\displaystyle \overline a=y-x\sqrt3$이고 $\displaystyle a\overline a=(y+x\sqrt3)(y-x\sqrt3)=1$이다. [논제 Ⅰ-1]에서 $\displaystyle \overline{(\overline a)}=a$이므로 $\displaystyle \overline a\overline{(\overline a)}=\overline aa=(y-x\sqrt3)(y+x\sqrt3)=1$이고, 따라서 $\displaystyle \overline a\in B$이다.

$\displaystyle B$의 원소 $\displaystyle a=y+x\sqrt3$와 $\displaystyle b=z+w\sqrt3$에 대하여 [논제 Ⅰ-1]의 $\displaystyle \overline{ab}=\overline a\,\overline b$에 의하면 $\displaystyle ab\overline{ab}=ab\overline a\,\overline b=a\overline ab\overline b$이다.

한편 $\displaystyle a,b\in B$이므로 $\displaystyle a\overline a=1=b\overline b$이고 $\displaystyle ab\overline{ab}=a\overline ab\overline b=1$이다. 따라서 $\displaystyle ab\in B$이다.

$\displaystyle n=1$일 때 $\displaystyle a^1=a$이므로 $\displaystyle B$에 포함된다.

임의의 자연수 $\displaystyle k$에 대하여 $\displaystyle a^k\in B$임을 가정하면 $\displaystyle a^k\overline{(a^k)}=1$이다.

또한 $\displaystyle k+1$에 대하여 $\displaystyle a^{k+1}\overline{(a^{k+1})}=a^ka\overline{a^ka}=a^ka\overline{a^k}\overline a=a^k\overline{a^k}a\overline a=1\times1=1$이므로 $\displaystyle a^{k+1}\in B$이다. 따라서, 제시문 [라]에 의해 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle a^n$도 $\displaystyle B$에 포함된다.

(3) 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여$\displaystyle \begin{aligned}y_{n+1}+x_{n+1}\sqrt3&=(2+\sqrt3)^{n+1}=(2+\sqrt3)^n(2+\sqrt3)=(y_n+x_n\sqrt3)(2+\sqrt3)\\&=(2y_n+3x_n)+(y_n+2x_n)\sqrt3\end{aligned}$이므로 $\displaystyle y_{n+1}=2y_n+3x_n,\ x_{n+1}=y_n+2x_n$이다.

$\displaystyle a_{n+1}=\frac{y_{n+1}}{x_{n+1}}=\frac{2y_n+3x_n}{y_n+2x_n}=\frac{2\frac{y_n}{x_n}+3}{\frac{y_n}{x_n}+2}=\frac{2a_n+3}{a_n+2}$이므로 $\displaystyle a_{n+1}a_n+2a_{n+1}=2a_n+3$ …… ① 이다.

한편 수열 $\displaystyle a_n$이 수렴하므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$라 하면, 제시문 [마]에 의해, 등식 ①의 좌변의 극한은$\displaystyle \lim_{n\to\infty}(a_{n+1}a_n+2a_{n+1})=\lim_{n\to\infty}a_{n+1}a_n+\lim_{n\to\infty}2a_{n+1}=\lim_{n\to\infty}a_n\lim_{n\to\infty}a_{n+1}+2\lim_{n\to\infty}a_{n+1}=\alpha^2+2\alpha$이고,등식 ①의 우변의 극한은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}(2a_n+3)=2\lim_{n\to\infty}a_n+\lim_{n\to\infty}3=2\alpha+3$이다. 따라서 $\displaystyle \alpha^2=3$이며,

수열 $\displaystyle a_n$이 양수의 수열 이므로 $\displaystyle \alpha=\sqrt3$이다.

수열 $\displaystyle a_n=\frac{y_n}{x_n}$은 쌍곡선 $\displaystyle y^2-3x^2=1$의 그래프 위의 제1사분면에 위치한 자연수 좌표점 $\displaystyle (x_n,y_n)$의 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표의 비율로 이루어진 수열이다. 따라서 그 극한은 쌍곡선 $\displaystyle y^2-3x^2=1$에서 기울기가 양수인 점근선 직선 $\displaystyle y=\sqrt3x$의 기울기 $\displaystyle \sqrt3$이다.