자연계열 1번

논제 Ⅰ-(1)$\displaystyle x$와 $\displaystyle y$를 $\displaystyle t$에 대해서 미분하면 $\displaystyle x^{\prime}(t)=2t^{\frac{2n-1}2},\ y^{\prime}(t)=t^{2n}-\frac1t$이다.따라서 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}=\frac12\left(t^{\frac{2n+1}2}-t^{-\frac{2n+1}2}\right)$이다.

$\displaystyle u=t^{\frac{2n+1}2}$라고 하고, $\displaystyle \frac{dy}{dx}=n$일 때를 생각하면,$\displaystyle n=\frac{dy}{dx}=\frac12\left(u-\frac1u\right)$로부터, $\displaystyle u^2-2nu-1=0$이다.$\displaystyle u=n\pm\sqrt{n^2+1}$에서 $\displaystyle t\ge1$이므로 $\displaystyle u=n+\sqrt{n^2+1}$을 얻는다.따라서 이때 점 $\displaystyle \mathrm P$의 $\displaystyle x$좌표는$\displaystyle a_n=\frac4{2n+1}u-\frac4{2n+1}=\frac4{2n+1}(n-1+\sqrt{n^2+1})$

그러므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4(n-1)}{2n+1}+\frac{4\sqrt{n^2+1}}{2n+1}\right)=2+2=4$

논제 Ⅰ-(2)점 $\displaystyle \mathrm P$의 속력은$\displaystyle \sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2}=\sqrt{4t^{2n-1}+t^{4n}-2t^{2n-1}+\frac1{t^2}}=\sqrt{\left(t^{2n}+\frac1t\right)^2}=t^{2n}+\frac1t$

$\displaystyle b=e^{\frac1{2n+1}}$이라고 할 때, 시각 $\displaystyle t=1$에서 시각 $\displaystyle t=b$까지 점 $\displaystyle \mathrm P$가 움직인 거리는$\displaystyle l=\int_1^b\left(t^{2n}+\frac1t\right)\,dt=\frac1{2n+1}b^{2n+1}+\ln b-\frac1{2n+1}=\frac e{2n+1}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+1}=\frac e{2n+1}$

$\displaystyle t=b$일 때의 점 $\displaystyle \mathrm P$의 $\displaystyle y$좌표는 $\displaystyle m=\frac1{2n+1}b^{2n+1}-\ln b-\frac1{2n+1}=\frac{e-2}{2n+1}$이므로$\displaystyle \frac lm=\frac e{e-2}$