수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

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경희대 2026학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2026su/jayeon_1

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[가] x=f(t), y=g(t)\displaystyle x=f(t),\ y=g(t)가 t\displaystyle t에 대하여 미분가능하고, f′(t)≠0\displaystyle f^{\prime}(t)\ne0이면 dydx=dydtdxdt=g′(t)f′(t)\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}이다.

[나] 좌표평면 위를 움직이는 점 P\displaystyle \mathrm P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치 (x,y)\displaystyle (x,y)가 x=f(t), y=g(t)\displaystyle x=f(t),\ y=g(t)일 때, 시각 t=a\displaystyle t=a에서 t=b\displaystyle t=b까지 점 P\displaystyle \mathrm P가 움직인 거리 s\displaystyle s는s=∫ab(dxdt)2+(dydt)2 dt=∫ab{f′(t)}2+{g′(t)}2 dt\displaystyle s=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt=\int_a^b\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}\,dt

[논제 Ⅰ] 자연수 n\displaystyle n에 대하여 좌표평면 위를 움직이는 점 P\displaystyle \mathrm P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치 (x,y)\displaystyle (x,y)가x=42n+1t2n+12−42n+1,y=12n+1t2n+1−ln⁡t−12n+1,\displaystyle x=\frac4{2n+1}t^{\frac{2n+1}2}-\frac4{2n+1},\quad y=\frac1{2n+1}t^{2n+1}-\ln t-\frac1{2n+1},일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, t≥1\displaystyle t\ge1)

(1) dydx=n\displaystyle \frac{dy}{dx}=n이 되는 점 P\displaystyle \mathrm P의 x\displaystyle x좌표를 an\displaystyle a_n이라고 할 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

(2) 시각 t=1\displaystyle t=1에서 t=e12n+1\displaystyle t=e^{\frac1{2n+1}}까지 점 P\displaystyle \mathrm P가 움직인 거리를 l\displaystyle l이라고 하고, 시각 t=e12n+1\displaystyle t=e^{\frac1{2n+1}}에서 점 P\displaystyle \mathrm P의 y\displaystyle y좌표를 m\displaystyle m이라고 하자. 이때 lm\displaystyle \frac lm을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (15점)

해설강의 준비중

경희대 2026학년도 수시 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2026su/jayeon_1

+6점 · x′(t)\displaystyle x^{\prime}(t)와 y′(t)\displaystyle y^{\prime}(t)를 이용하여 dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}를 구한다.

논제 Ⅰ-(1)x\displaystyle x와 y\displaystyle y를 t\displaystyle t에 대해서 미분하면 x′(t)=2t2n−12, y′(t)=t2n−1t\displaystyle x^{\prime}(t)=2t^{\frac{2n-1}2},\ y^{\prime}(t)=t^{2n}-\frac1t이다.따라서 dydx=y′(t)x′(t)=12(t2n+12−t−2n+12)\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y^{\prime}(t)}{x^{\prime}(t)}=\frac12\left(t^{\frac{2n+1}2}-t^{-\frac{2n+1}2}\right)이다.

+6점 · an\displaystyle a_n을 구한다.

u=t2n+12\displaystyle u=t^{\frac{2n+1}2}라고 하고, dydx=n\displaystyle \frac{dy}{dx}=n일 때를 생각하면,n=dydx=12(u−1u)\displaystyle n=\frac{dy}{dx}=\frac12\left(u-\frac1u\right)로부터, u2−2nu−1=0\displaystyle u^2-2nu-1=0이다.u=n±n2+1\displaystyle u=n\pm\sqrt{n^2+1}에서 t≥1\displaystyle t\ge1이므로 u=n+n2+1\displaystyle u=n+\sqrt{n^2+1}을 얻는다.따라서 이때 점 P\displaystyle \mathrm P의 x\displaystyle x좌표는an=42n+1u−42n+1=42n+1(n−1+n2+1)\displaystyle a_n=\frac4{2n+1}u-\frac4{2n+1}=\frac4{2n+1}(n-1+\sqrt{n^2+1})

+3점 · lim⁡n→∞an\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n을 구한다.

그러므로lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞(4(n−1)2n+1+4n2+12n+1)=2+2=4\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{4(n-1)}{2n+1}+\frac{4\sqrt{n^2+1}}{2n+1}\right)=2+2=4

+6점 · 점 P의 속력을 구한다.

논제 Ⅰ-(2)점 P\displaystyle \mathrm P의 속력은x′(t)2+y′(t)2=4t2n−1+t4n−2t2n−1+1t2=(t2n+1t)2=t2n+1t\displaystyle \sqrt{x^{\prime}(t)^2+y^{\prime}(t)^2}=\sqrt{4t^{2n-1}+t^{4n}-2t^{2n-1}+\frac1{t^2}}=\sqrt{\left(t^{2n}+\frac1t\right)^2}=t^{2n}+\frac1t

+6점 · 거리 l\displaystyle l을 구한다.

b=e12n+1\displaystyle b=e^{\frac1{2n+1}}이라고 할 때, 시각 t=1\displaystyle t=1에서 시각 t=b\displaystyle t=b까지 점 P\displaystyle \mathrm P가 움직인 거리는l=∫1b(t2n+1t) dt=12n+1b2n+1+ln⁡b−12n+1=e2n+1+12n+1−12n+1=e2n+1\displaystyle l=\int_1^b\left(t^{2n}+\frac1t\right)\,dt=\frac1{2n+1}b^{2n+1}+\ln b-\frac1{2n+1}=\frac e{2n+1}+\frac1{2n+1}-\frac1{2n+1}=\frac e{2n+1}

+3점 · lm\displaystyle \frac lm을 구한다.

t=b\displaystyle t=b일 때의 점 P\displaystyle \mathrm P의 y\displaystyle y좌표는 m=12n+1b2n+1−ln⁡b−12n+1=e−22n+1\displaystyle m=\frac1{2n+1}b^{2n+1}-\ln b-\frac1{2n+1}=\frac{e-2}{2n+1}이므로lm=ee−2\displaystyle \frac lm=\frac e{e-2}

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