자연계열 2번

다음에 앞면은 두 번 나와야 하고, 뒷면은 최대 두 번 나와야 하며, 마지막은 앞면으로 끝나야 한다. 뒷면의 개수로 경우를 나누어 보자.* 뒷면이 0번: 앞앞 => 확률 $\displaystyle p^{2}$* 뒷면이 1번: 앞뒤앞, 뒤앞앞 => 확률 $\displaystyle 2p^{2}(1-p)$* 뒷면이 2번: 앞뒤뒤앞, 뒤앞뒤앞, 뒤뒤앞앞 => 확률 $\displaystyle 3p^{2}(1-p)^{2}$

따라서$\displaystyle f(p)=p^{2}\{1+2(1-p)+3(1-p)^{2}\}=p^{2}(3p^{2}-8p+6)$

다음에 앞면은 한 번 나와야 하고, 뒷면은 최대 한 번 나와야 하며, 마지막은 앞면으로 끝나야 한다. 이후 뒷면의 개수를 가지고 경우를 나누어 보자.* 뒷면이 0번: 앞 => 확률 $\displaystyle p$* 뒷면이 1번: 뒤앞 => 확률 $\displaystyle p(1-p)$따라서, 경우 1일 때 맨 오른쪽 점까지 도달할 확률은$\displaystyle g_{1}(p)=p(2-p)$

다음에 앞면은 두 번 나와야 하고, 뒷면은 최대 한 번 나와야 하며, 마지막은 앞면으로 끝나야 한다. 이후 뒷면의 개수를 가지고 경우를 나누어 보자.* 뒷면이 0번: 앞앞 => 확률 $\displaystyle p^{2}$* 뒷면이 1번: 앞뒤앞, 뒤앞앞 => 확률 $\displaystyle 2p^{2}(1-p)$따라서, 경우 2일 때 맨 오른쪽 점까지 도달할 확률은$\displaystyle g_{2}(p)=p^{2}(3-2p)$

③ 함께 계산하기확률의 곱셈정리에 의하여$\displaystyle g(p)=\frac{4}{5}g_{1}(p)+\frac{1}{5}g_{2}(p)=\frac{4}{5}p(2-p)+\frac{1}{5}p^{2}(3-2p)=\frac{1}{5}p(-2p^{2}-p+8)$$\displaystyle f(p)=g(p)$이므로$\displaystyle p^{2}(3p^{2}-8p+6)=\frac{1}{5}p(-2p^{2}-p+8)$이다. $\displaystyle p>0$이므로 양변을 $\displaystyle p$로 나누고, 다시 정리하면$\displaystyle 15p^{3}-38p^{2}+31p-8=0$이고, 인수분해하면$\displaystyle (p-1)^{2}(15p-8)=0$$\displaystyle p<1$이므로$\displaystyle p=\frac{8}{15}$