자연계열 2번

경희대 2026학년도 수시 자연계열 2번 · 해설강의 있음 · mathesis.kr/archive/khu/2026su/jayeon_2

[다] 두 사건 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에 대하여 $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B\mid A)=\mathrm{P}(B)\mathrm{P}(A\mid B)$ 이다. (단, $\displaystyle \mathrm{P}(A)>0$ , $\displaystyle \mathrm{P}(B)>0$ )

[논제 Ⅱ] <그림 1>의 말판에서 처음에 말은 맨 왼쪽 점에서 출발한다. 그리고 앞면(둥근 면)이 나올 확률이 $\displaystyle p$ $\displaystyle (0<p<1)$ 이고 뒷면(평평한 면)이 나올 확률이 $\displaystyle 1-p$ 인 윷짝 한 개를 계속해서 던진다. 앞면이 나오면 말은 오른쪽으로 한 칸 이동하고, 뒷면이 나오면 말은 이동하지 않는다. 다음 물음에 답하시오.

가로로 나란한 네 점을 연결한 말판. 맨 왼쪽 점에 출발 표시와 오른쪽 방향 화살표가 있다. — <그림 1>

(1) 처음 윷짝을 던진 결과가 앞면이 나왔을 때, 뒷면이 세 번 나오기 전에 말이 맨 오른쪽 점까지 도달할 확률 $\displaystyle f(p)$ 를 구하고, 그 근거를 논술하시오. (12점)

(2) $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 5$ 라는 다섯 개의 영역이 있는 돌림판이 있고, 각 영역이 나올 확률은 동일하다. 돌림판을 돌려서 영역 $\displaystyle 1$ , $\displaystyle 2$ , $\displaystyle 3$ , $\displaystyle 4$ 중 하나가 나오면 말을 왼쪽에서 세 번째 점에 두고, 반면에 영역 $\displaystyle 5$ 가 나오면 말을 왼쪽에서 두 번째 점에 둔다. 그 후에 윷짝을 계속해서 던져서 뒷면이 두 번 나오기 전에 말이 맨 오른쪽 점까지 도달할 확률을 $\displaystyle g(p)$ 라고 하자. (1)에서 구한 $\displaystyle f(p)$ 에 대하여 $\displaystyle f(p)=g(p)$ 인 $\displaystyle p$ 의 값을 구하고, 그 근거를 논술하시오. (단, $\displaystyle 0<p<1$ ) (21점)

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논제 II-(1) 윷짝을 던진 첫 결과가 앞면이면 말의 상황은 다음과 같다.

네 점을 연결한 말판. 첫 번째 점에 출발 표시가 있고 두 번째 점이 현재위치로 표시되어 있다.

+9점 · 뒷면의 개수에 따른 각각의 확률 구하기

다음에 앞면은 두 번 나와야 하고, 뒷면은 최대 두 번 나와야 하며, 마지막은 앞면으로 끝나야 한다. 뒷면의 개수로 경우를 나누어 보자.* 뒷면이 0번: 앞앞 => 확률 $\displaystyle p^{2}$ * 뒷면이 1번: 앞뒤앞, 뒤앞앞 => 확률 $\displaystyle 2p^{2}(1-p)$ * 뒷면이 2번: 앞뒤뒤앞, 뒤앞뒤앞, 뒤뒤앞앞 => 확률 $\displaystyle 3p^{2}(1-p)^{2}$

+3점 · 확률 합쳐서 식을 정리하기

따라서 $\displaystyle f(p)=p^{2}\{1+2(1-p)+3(1-p)^{2}\}=p^{2}(3p^{2}-8p+6)$

논제 II-(2)

① 경우 1 (영역 1, 2, 3, 4가 나온 경우)말의 상황은 다음과 같다.

네 점을 연결한 말판. 첫 번째 점에 출발 표시가 있고 세 번째 점이 현재위치로 표시되어 있다.

+4점 · 영역이 1, 2, 3, 4가 나올 경우의 확률 구하기

다음에 앞면은 한 번 나와야 하고, 뒷면은 최대 한 번 나와야 하며, 마지막은 앞면으로 끝나야 한다. 이후 뒷면의 개수를 가지고 경우를 나누어 보자.* 뒷면이 0번: 앞 => 확률 $\displaystyle p$ * 뒷면이 1번: 뒤앞 => 확률 $\displaystyle p(1-p)$ 따라서, 경우 1일 때 맨 오른쪽 점까지 도달할 확률은 $\displaystyle g_{1}(p)=p(2-p)$

② 경우 2 (영역 5가 나온 경우)말의 상황은 다음과 같다.

+4점 · 영역 5가 나올 확률 구하기

다음에 앞면은 두 번 나와야 하고, 뒷면은 최대 한 번 나와야 하며, 마지막은 앞면으로 끝나야 한다. 이후 뒷면의 개수를 가지고 경우를 나누어 보자.* 뒷면이 0번: 앞앞 => 확률 $\displaystyle p^{2}$ * 뒷면이 1번: 앞뒤앞, 뒤앞앞 => 확률 $\displaystyle 2p^{2}(1-p)$ 따라서, 경우 2일 때 맨 오른쪽 점까지 도달할 확률은 $\displaystyle g_{2}(p)=p^{2}(3-2p)$

+13점 · 함께 계산하여

\displaystyle p

값 구하기

③ 함께 계산하기확률의 곱셈정리에 의하여 $\displaystyle g(p)=\frac{4}{5}g_{1}(p)+\frac{1}{5}g_{2}(p)=\frac{4}{5}p(2-p)+\frac{1}{5}p^{2}(3-2p)=\frac{1}{5}p(-2p^{2}-p+8)$ $\displaystyle f(p)=g(p)$ 이므로 $\displaystyle p^{2}(3p^{2}-8p+6)=\frac{1}{5}p(-2p^{2}-p+8)$ 이다. $\displaystyle p>0$ 이므로 양변을 $\displaystyle p$ 로 나누고, 다시 정리하면 $\displaystyle 15p^{3}-38p^{2}+31p-8=0$ 이고, 인수분해하면 $\displaystyle (p-1)^{2}(15p-8)=0$ $\displaystyle p<1$ 이므로 $\displaystyle p=\frac{8}{15}$

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