자연계열 3번

Ⅲ-(1) 점 P의 좌표를 $\displaystyle (x,y)$라고 하고, 점 P에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 Q라고 하면, 점 Q의 좌표는 $\displaystyle (x,0)$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=4+x$이며 $\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}}=4-x$이다.

$\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$에서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{4-x}{4+x},\ \frac y{4+x}=\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{4\sqrt x}{4+x}$이므로 곡선 $\displaystyle C$의 방정식은 $\displaystyle y=4\sqrt x\ (0<x<4)$이다. $\displaystyle f(x)=4\sqrt x$라고 하자. 또한 위의 계산으로부터$\displaystyle x=\frac{4(1-\cos\theta)}{1+\cos\theta}$ ------------------------- (*)

$\displaystyle \sin\theta=\frac45$인 $\displaystyle \theta$를 $\displaystyle \alpha$, $\displaystyle \sin\theta=\frac{2\sqrt2}3$인 $\displaystyle \theta$를 $\displaystyle \beta$라고 하고 점 $\displaystyle \mathrm P_1$과 $\displaystyle \mathrm P_2$에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 각각 $\displaystyle \mathrm Q_1$과 $\displaystyle \mathrm Q_2$라고 하자. 두 선분 $\displaystyle \mathrm{AP}_1,\ \mathrm{AP}_2$와 곡선 $\displaystyle C$로 둘러싸인 도형의 넓이를 $\displaystyle B$라고 하면,$\displaystyle B=(\text{도형 }\mathrm P_2P_1Q_1Q_2\text{의 넓이})+(\text{삼각형 }\mathrm{AP}_2\mathrm Q_2\text{의 넓이})-(\text{삼각형 }\mathrm{AP}_1\mathrm Q_1\text{의 넓이})$ -- $\displaystyle (\ast\ast)$

$\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$에서 $\displaystyle \sin\theta$는 증가함수이므로 $\displaystyle 0<\alpha\le\beta<\frac\pi2$이고, $\displaystyle \sin\alpha=\frac45,\ \sin\beta=\frac{2\sqrt2}3$이므로 $\displaystyle \cos\alpha=\frac35,\ \cos\beta=\frac13$이며, (*)로부터 점 $\displaystyle \mathrm Q_1$과 $\displaystyle \mathrm Q_2$의 $\displaystyle x$좌표는 각각 1과 2이다.$\displaystyle (\text{도형 }\mathrm P_2P_1Q_1Q_2\text{의 넓이})=\int_1^2f(x)\,dx=\int_1^24\sqrt x\,dx=\frac83(2\sqrt2-1)$$\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}_2}=2,\ \overline{\mathrm P_2Q_2}=f(2)=4\sqrt2$에서, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AP}_2\mathrm Q_2$의 넓이는 $\displaystyle 4\sqrt2$$\displaystyle \overline{\mathrm{AQ}_1}=3,\ \overline{\mathrm P_1Q_1}=f(1)=4$에서, 삼각형 $\displaystyle \mathrm{AP}_1\mathrm Q_1$의 넓이는 6따라서 $\displaystyle (\ast\ast)$에 의해 $\displaystyle B=\frac83(2\sqrt2-1)+4\sqrt2-6=\frac23(14\sqrt2-13)$

Ⅲ-(2) 곡선 $\displaystyle C$의 방정식 $\displaystyle y=f(x)=4\sqrt x$에 의하여 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac2{\sqrt x}$이므로, 곡선 위의 점 $\displaystyle \mathrm P(a,4\sqrt a)$에서 곡선에 접하는 접선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=\frac2{\sqrt a}x+2\sqrt a$이다.$\displaystyle h(x)=\frac2{\sqrt a}x+2\sqrt a$라고 하자.

접선 $\displaystyle l$이 $\displaystyle y$축과 만나는 점을 L, 접선 $\displaystyle l$이 직선 $\displaystyle x=4$와 만나는 점을 M, 곡선 $\displaystyle C$가 직선 $\displaystyle x=4$와 만나는 점을 N이라고 하자. 도형 $\displaystyle S$의 넓이를 $\displaystyle g(a)$라 하면$\displaystyle g(a)=(\text{사다리꼴 LOAM의 넓이})-(\text{도형 OAN의 넓이})$한편, $\displaystyle (\text{사다리꼴 LOAM의 넓이})=\int_0^4h(x)\,dx=8\sqrt a+\frac{16}{\sqrt a}$$\displaystyle (\text{도형 OAN의 넓이})=\int_0^44\sqrt x\,dx=\frac{64}3$이므로$\displaystyle g(a)=8\sqrt a+\frac{16}{\sqrt a}-\frac{64}3$

따라서 도형 $\displaystyle S$의 넓이의 최솟값은 $\displaystyle 0<a<4$에서 함수 $\displaystyle g(a)$의 최솟값이다.$\displaystyle g^{\prime}(a)=\frac4{a\sqrt a}(a-2)$이며, $\displaystyle g^{\prime}(a)=0$인 경우는 $\displaystyle a=2$이다.$\displaystyle a<2$이면 $\displaystyle g^{\prime}(a)<0$이고 $\displaystyle a>2$이면 $\displaystyle g^{\prime}(a)>0$이므로 $\displaystyle g(a)$는 $\displaystyle a=2$일 때 최솟값을 가진다.도형 $\displaystyle S$의 넓이의 최솟값은 $\displaystyle g(2)=16\left(\sqrt2-\frac43\right)$이다.