의·약학계 2번

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$가 연속확률변수 $\displaystyle X$의 확률밀도함수가 되려면 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 $\displaystyle f(x)\ge0$이고, $\displaystyle \mathrm P(0\le X\le2)=1$이다. 함수 $\displaystyle f(x)$가 구간 $\displaystyle [0,1]$ 및 $\displaystyle (1,2]$에서 각각 일차함수이므로, 첫 번째 조건 $\displaystyle f(x)\ge0$을 만족하려면$\displaystyle f(0)=a\ge0,\ f(1)=a(1+b)\ge0,\ f(2)=0\ge0$그런데, $\displaystyle a>0$이므로 이를 만족하는 $\displaystyle b$의 범위는 $\displaystyle b\ge-1$이다.

두 번째 조건을 만족하려면$\displaystyle \mathrm P(0\le X\le2)=\frac12\times(a+a(b+1))\times1+\frac12\times a(b+1)\times1=a\frac{2b+3}2=1$따라서 $\displaystyle a=\frac2{2b+3}$이다.

한편,$\displaystyle \begin{aligned}c&=\int_0^2x^2f(x)\,dx=\int_0^1a(bx^3+x^2)\,dx+\int_1^2\{-a(b+1)(x^3-2x^2)\}\,dx\\&=\frac{a(3b+4)}{12}+\frac{11a(b+1)}{12}=\frac{14b+15}{12b+18}=-\frac1{2b+3}+\frac76\end{aligned}$따라서, 주어진 범위 $\displaystyle b\ge-1$에서 $\displaystyle c$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac16\le c<\frac76$

(2) $\displaystyle \mathrm P(0\le X\le1)=\frac12\times(a+a(b+1))\times1=\frac a2(b+2)=\frac{b+2}{2b+3}$이므로 $\displaystyle \frac{b+2}{2b+3}=\frac35$, 즉, $\displaystyle b=1$을 기준으로 구간을 나누어 생각하자.(i) ($\displaystyle 0<b\le1$인 경우) 이 경우에는 $\displaystyle \frac{b+2}{2b+3}\ge\frac35$이므로, $\displaystyle \mathrm P(0\le X\le d)=\frac35$인 $\displaystyle d$는 구간 $\displaystyle (0,1]$에 존재한다. 이때$\displaystyle \mathrm P(0\le X\le d)=\frac12\times(a+a(bd+1))\times d=a\left(\frac b2d^2+d\right)=\frac35$따라서 $\displaystyle d$는 이차방정식 $\displaystyle bd^2+2d-\frac{6b+9}5=0$을 만족하며, $\displaystyle d$는 구간 $\displaystyle (0,1]$에 존재해야 하므로 $\displaystyle d=\frac1b\left(-1+\sqrt{1+\frac{b(6b+9)}5}\right)$이다.

(ii) ($\displaystyle b>1$인 경우) 이 경우에는 $\displaystyle \frac{b+2}{2b+3}<\frac35$이므로, $\displaystyle \mathrm P(0\le X\le d)=\frac35$인 $\displaystyle d$는 구간 $\displaystyle (1,2)$에 존재한다. 이때$\displaystyle \mathrm P(d\le X\le2)=\frac12\times(2-d)\times a(b+1)(2-d)=\frac{a(b+1)}2(d-2)^2=\frac{b+1}{2b+3}(d^2-4d+4)=\frac25$따라서, $\displaystyle d$는 이차방정식 $\displaystyle d^2-4d+\frac{16b+14}{5b+5}=0$을 만족하며, $\displaystyle d$는 구간 $\displaystyle (1,2)$에 존재해야 하므로 $\displaystyle d=2-\sqrt{\frac{4b+6}{5b+5}}$이다. 따라서, 구하는 값 $\displaystyle d=g(b)$는$\displaystyle g(b)=\begin{cases}\frac1b\left(-1+\sqrt{1+\frac{b(6b+9)}5}\right)&(0<b\le1)\\2-\sqrt{\frac{4b+6}{5b+5}}&(b>1)\end{cases}$

그러므로, $\displaystyle g\left(\frac12\right)=2\sqrt{\frac{11}5}-2,\ g(39)=2-\sqrt{\frac{81}{100}}=2-\frac9{10}$이다. 따라서$\displaystyle g\left(\frac12\right)+g(39)=2\sqrt{\frac{11}5}-\frac9{10}$