의·약학계 1번

(1) 점 E는 선분 AD의 중점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{ED}}=\sqrt3$이고, 직각삼각형 ABE에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{BE}}=\sqrt7$이다. 또한 직사각형 ABCD를 접은 이후 점 $\displaystyle \mathrm A=\mathrm D=\mathrm P$이므로, $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}}=\overline{\mathrm{PC}}=2$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{PE}}=\sqrt3$이다.점 P에서 선분 EB와 평면 EBC에 내린 수선의 발을 각각 H와 O라고 하자. $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}\perp\overline{\mathrm{EB}}$이고, 선분 PO와 평면 EBC는 수직이므로 삼수선의 정리에 따라 $\displaystyle \overline{\mathrm{HO}}\perp\overline{\mathrm{EB}}$이다. 직각삼각형 POH에서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{PH}}}$이다.

한편, 삼각형 AEO와 삼각형 BAE는 서로 닮음이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AE}}:\overline{\mathrm{EO}}=\overline{\mathrm{BA}}:\overline{\mathrm{AE}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{EO}}=\frac32$이고, 삼각형 AHB와 삼각형 OHE는 서로 닮음이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}:\overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{EO}}:\overline{\mathrm{HO}}$에서 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{AH}}}=\frac34$이다. 이때 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{HO}}}{\overline{\mathrm{PH}}}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=\overline{\mathrm{AH}}$이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac34$

(2) 삼각형 PBC의 넓이:선분 BC의 중점을 $\displaystyle \mathrm E^{\prime}$이라고 하면 $\displaystyle \overline{\mathrm E^{\prime}C}=\sqrt3$이고, 점 $\displaystyle \mathrm E^{\prime}$은 점 P에서 선분 BC에 내린 수선의 발이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{PC}}=2$이므로, 직각삼각형 $\displaystyle \mathrm{PE}^{\prime}\mathrm C$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PE}^{\prime}}=1$이다. 따라서$\displaystyle \triangle\mathrm{PBC}=\frac12\overline{\mathrm{BC}}\times\overline{\mathrm{PE}^{\prime}}=\sqrt3$

사면체 PEBC의 부피:직각삼각형 ABE에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AE}}=\overline{\mathrm{AH}}\times\overline{\mathrm{BE}}$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AH}}=\overline{\mathrm{PH}}=\frac{2\sqrt3}{\sqrt7}$이고, (1)의 결과를 이용하여 $\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{\sqrt7}4$로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}}=\overline{\mathrm{PH}}\sin\theta=\frac{\sqrt3}2$이다. $\displaystyle \triangle\mathrm{EBC}=2\sqrt3$이므로, 사면체 PEBC의 부피 $\displaystyle V$는$\displaystyle V=\frac13\times\triangle\mathrm{EBC}\times\overline{\mathrm{PO}}=1$