자연계열 I 1번

【1-1】$\displaystyle \mathrm P(A)=x$라 하면 $\displaystyle \mathrm P(A)=\mathrm P(A^C\cap B)$이므로 $\displaystyle \mathrm P(A\cup B)=\mathrm P(A)+\mathrm P(A^C\cap B)=2x$이다.$\displaystyle \mathrm P(A^C\cap B^C)=1-2x$이고 $\displaystyle \mathrm P(A)=\frac13\mathrm P(A^C\cap B^C)$이므로 $\displaystyle 1-2x=3x$이다.따라서 $\displaystyle x=\mathrm P(A)=\frac15$이고 $\displaystyle \mathrm P(A^C\cap B^C)=\frac35$이므로$\displaystyle \mathrm P(B^C|A^C)=\frac{\mathrm P(B^C\cap A^C)}{\mathrm P(A^C)}=\frac{\mathrm P(A^C\cap B^C)}{1-\mathrm P(A)}=\frac{\frac35}{1-\frac15}=\frac34$이다.

【1-2】(1) 이산확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포와 조건에 의해서$\displaystyle \mathrm E(X)=\sum_{j=1}^kj\times\mathrm P(X=j)=\sum_{j=1}^kj^2\times\mathrm P(X=1)=p_1\sum_{j=1}^kj^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}6p_1$이고$\displaystyle \mathrm E(X^2)=\sum_{j=1}^kj^2\times\mathrm P(X=j)=\sum_{j=1}^kj^3\times\mathrm P(X=1)=p_1\sum_{j=1}^kj^3=\left\{\frac{k(k+1)}2\right\}^2p_1$이다.$\displaystyle \mathrm E(X^2)=\frac{10}3\mathrm E(X)$이므로 $\displaystyle \left\{\frac{k(k+1)}2\right\}^2p_1=\frac{10}3\times\frac{k(k+1)(2k+1)}6p_1$이고$\displaystyle 9k^2-31k-20=(k-4)(9k+5)=0$을 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle k=4$이다.그리고 $\displaystyle \sum_{j=1}^4\mathrm P(X=j)=(1+2+3+4)p_1=1$이므로 $\displaystyle \mathrm P(X=1)=\frac1{10}$이다.

(2) 방정식 $\displaystyle x^3-(a+1)x^2+2(a-1)x-a+2=(x-1)\{x^2-ax+(a-2)\}=0$의 서로 다른 세 실근은 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$이다. $\displaystyle \alpha=1$이라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서 $\displaystyle \beta+\gamma=a$이고 $\displaystyle \beta\gamma=a-2$이므로 $\displaystyle \mathrm E(Y)=\frac{\alpha+\beta+\gamma}3=\frac{1+a}3$이고$\displaystyle \begin{aligned}\mathrm V(Y)&=\frac{1^2+\beta^2+\gamma^2}3-\left(\frac{1+a}3\right)^2=\frac{1+(\beta+\gamma)^2-2\beta\gamma}3-\frac{(a+1)^2}9\\&=\frac{1+a^2-2(a-2)}3-\frac{(a+1)^2}9=\frac{2(a^2-4a+7)}9\end{aligned}$이다. $\displaystyle \mathrm V(Y)=\frac23$이므로 $\displaystyle a^2-4a+4=(a-2)^2=0$이다. 따라서 $\displaystyle a=2$이다.

【1-3】확률변수 $\displaystyle X$가 평균이 $\displaystyle m$이고 표준편차가 $\displaystyle \sigma$인 정규분포를 따르므로$\displaystyle \mathrm P(X\le11)=\mathrm P\left(Z\le\frac{11-m}\sigma\right)=0.1587$이고 $\displaystyle \mathrm P(X\ge6)=\mathrm P\left(Z\ge\frac{6-m}\sigma\right)=0.9772$이다.표준정규분포표로부터 $\displaystyle \frac{11-m}\sigma=-1$이고 $\displaystyle \frac{6-m}\sigma=-2$이므로 $\displaystyle m=16$이고 $\displaystyle \sigma=5$이다. 그러므로$\displaystyle \mathrm P(1\le X\le21)=\mathrm P\left(\frac{1-16}5\le Z\le\frac{21-16}5\right)=\mathrm P(-3\le Z\le1)$$\displaystyle =\mathrm P(0\le Z\le3)+\mathrm P(0\le Z\le1)=0.4987+0.3413=0.84$이다.