경북대 2020학년도 수시 자연계열 I 1번 해설

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 표본공간 $\displaystyle S$ 의 두 사건 $\displaystyle A,B$ 에 대하여 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때, 사건 $\displaystyle B$ 가 일어날 확률을 사건 $\displaystyle A$ 가 일어났을 때의 사건 $\displaystyle B$ 의 조건부확률이라고 하며, 이것을 기호로 $\displaystyle \mathrm P(B|A)$ 와 같이 나타낸다. 이때 $\displaystyle \mathrm P(B|A)=\frac{\mathrm P(A\cap B)}{\mathrm P(A)}$ (단, $\displaystyle \mathrm P(A)\ne0$ )이 성립한다.

(나) 이산확률변수 $\displaystyle X$ 가 $\displaystyle x_i\ (i=1,2,\cdots,n)$ 의 값을 가질 확률을 각각 $\displaystyle \mathrm P(X=x_i)=p_i$ 라고 할 때, $\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n$ 과 확률 $\displaystyle p_1,p_2,\cdots,p_n$ 사이의 대응 관계를 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포라 한다. 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률질량함수 $\displaystyle \mathrm P(X=x_i)=p_i$ 는 다음의 성질을 만족시킨다.(a) $\displaystyle 0\le p_i\le1$ (b) $\displaystyle \sum_{i=1}^np_i=1$ 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 기댓값(평균) $\displaystyle \mathrm E(X)$ 와 분산 $\displaystyle \mathrm V(X)$ 는(c) $\displaystyle \mathrm E(X)=\sum_{i=1}^nx_ip_i$ (d) $\displaystyle \mathrm V(X)=\mathrm E(X^2)-\{\mathrm E(X)\}^2=\sum_{i=1}^nx_i^2p_i-\left(\sum_{i=1}^nx_ip_i\right)^2$ 이다.

(다) 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여(a) $\displaystyle \sum_{j=1}^kj=\frac{k(k+1)}2$ (b) $\displaystyle \sum_{j=1}^kj^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}6$ (c) $\displaystyle \sum_{j=1}^kj^3=\left\{\frac{k(k+1)}2\right\}^2$ 이다.

(라) 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포 $\displaystyle \mathrm N(0,1)$ 을 표준정규분포라고 한다. 확률변수 $\displaystyle Z$ 가 표준정규분포 $\displaystyle \mathrm N(0,1)$ 을 따른다고 할 때, 양수 $\displaystyle z$ 에 대하여 확률 $\displaystyle \mathrm P(0\le Z\le z)$ 는 다음의 표준정규분포표를 이용하여 구할 수 있다.

$\displaystyle z$	$\displaystyle \mathrm P(0\le Z\le z)$
1.0	0.3413
1.5	0.4332
2.0	0.4772
3.0	0.4987

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【1-1】 두 사건 $\displaystyle A,B$ 가 $\displaystyle \mathrm P(A)=\mathrm P(A^C\cap B)=\frac13\mathrm P(A^C\cap B^C)$ 을 만족시킬 때, $\displaystyle \mathrm P(B^C|A^C)$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle A^C$ 은 $\displaystyle A$ 의 여사건이다.) (20점)

【1-2】 이산확률변수 $\displaystyle X,Y$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle X$	1	2	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle k$	합계
$\displaystyle \mathrm P(X=x)$	$\displaystyle p_1$	$\displaystyle p_2$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle p_k$	1

다음 조건을 만족시키는 자연수 $\displaystyle k$ 와 $\displaystyle \mathrm P(X=1)$ 의 값을 구하시오. (30점)

(a) $\displaystyle \mathrm P(X=j)=j\times\mathrm P(X=1)\quad(j=1,2,\cdots,k)$

(b) $\displaystyle \mathrm E(X^2)=\frac{10}3\mathrm E(X)$

(2) 상수 $\displaystyle a$ 에 대하여 서로 다른 세 실수 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 는 방정식 $\displaystyle x^3-(a+1)x^2+2(a-1)x-a+2=0$ 의 근이다. 이산확률변수 $\displaystyle Y$ 의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle Y$	$\displaystyle \alpha$	$\displaystyle \beta$	$\displaystyle \gamma$	합계
$\displaystyle \mathrm P(Y=y)$	$\displaystyle \frac13$	$\displaystyle \frac13$	$\displaystyle \frac13$	1

이산확률변수 $\displaystyle Y$ 의 분산이 $\displaystyle \frac23$ 일 때, 상수 $\displaystyle a$ 의 값을 구하시오. (30점)

【1-3】 평균이 $\displaystyle m$ 이고 표준편차가 $\displaystyle \sigma$ 인 정규분포를 따르는 확률변수 $\displaystyle X$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(a) $\displaystyle \mathrm P(X\le11)=0.1587$

(b) $\displaystyle \mathrm P(X\ge6)=0.9772$

제시문 (라)를 이용하여 $\displaystyle \mathrm P(1\le X\le21)$ 의 값을 구하시오. (30점)

경북대 2020학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2020su/jayeon1_1

【1-1】 $\displaystyle \mathrm P(A)=x$ 라 하면 $\displaystyle \mathrm P(A)=\mathrm P(A^C\cap B)$ 이므로 $\displaystyle \mathrm P(A\cup B)=\mathrm P(A)+\mathrm P(A^C\cap B)=2x$ 이다. $\displaystyle \mathrm P(A^C\cap B^C)=1-2x$ 이고 $\displaystyle \mathrm P(A)=\frac13\mathrm P(A^C\cap B^C)$ 이므로 $\displaystyle 1-2x=3x$ 이다.따라서 $\displaystyle x=\mathrm P(A)=\frac15$ 이고 $\displaystyle \mathrm P(A^C\cap B^C)=\frac35$ 이므로 $\displaystyle \mathrm P(B^C|A^C)=\frac{\mathrm P(B^C\cap A^C)}{\mathrm P(A^C)}=\frac{\mathrm P(A^C\cap B^C)}{1-\mathrm P(A)}=\frac{\frac35}{1-\frac15}=\frac34$ 이다.

【1-2】(1) 이산확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포와 조건에 의해서 $\displaystyle \mathrm E(X)=\sum_{j=1}^kj\times\mathrm P(X=j)=\sum_{j=1}^kj^2\times\mathrm P(X=1)=p_1\sum_{j=1}^kj^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}6p_1$ 이고 $\displaystyle \mathrm E(X^2)=\sum_{j=1}^kj^2\times\mathrm P(X=j)=\sum_{j=1}^kj^3\times\mathrm P(X=1)=p_1\sum_{j=1}^kj^3=\left\{\frac{k(k+1)}2\right\}^2p_1$ 이다. $\displaystyle \mathrm E(X^2)=\frac{10}3\mathrm E(X)$ 이므로 $\displaystyle \left\{\frac{k(k+1)}2\right\}^2p_1=\frac{10}3\times\frac{k(k+1)(2k+1)}6p_1$ 이고 $\displaystyle 9k^2-31k-20=(k-4)(9k+5)=0$ 을 만족시킨다. 따라서 $\displaystyle k=4$ 이다.그리고 $\displaystyle \sum_{j=1}^4\mathrm P(X=j)=(1+2+3+4)p_1=1$ 이므로 $\displaystyle \mathrm P(X=1)=\frac1{10}$ 이다.

(2) 방정식 $\displaystyle x^3-(a+1)x^2+2(a-1)x-a+2=(x-1)\{x^2-ax+(a-2)\}=0$ 의 서로 다른 세 실근은 $\displaystyle \alpha,\beta,\gamma$ 이다. $\displaystyle \alpha=1$ 이라 하면 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해서 $\displaystyle \beta+\gamma=a$ 이고 $\displaystyle \beta\gamma=a-2$ 이므로 $\displaystyle \mathrm E(Y)=\frac{\alpha+\beta+\gamma}3=\frac{1+a}3$ 이고 $\displaystyle \begin{aligned}\mathrm V(Y)&=\frac{1^2+\beta^2+\gamma^2}3-\left(\frac{1+a}3\right)^2=\frac{1+(\beta+\gamma)^2-2\beta\gamma}3-\frac{(a+1)^2}9\\&=\frac{1+a^2-2(a-2)}3-\frac{(a+1)^2}9=\frac{2(a^2-4a+7)}9\end{aligned}$ 이다. $\displaystyle \mathrm V(Y)=\frac23$ 이므로 $\displaystyle a^2-4a+4=(a-2)^2=0$ 이다. 따라서 $\displaystyle a=2$ 이다.

【1-3】확률변수 $\displaystyle X$ 가 평균이 $\displaystyle m$ 이고 표준편차가 $\displaystyle \sigma$ 인 정규분포를 따르므로 $\displaystyle \mathrm P(X\le11)=\mathrm P\left(Z\le\frac{11-m}\sigma\right)=0.1587$ 이고 $\displaystyle \mathrm P(X\ge6)=\mathrm P\left(Z\ge\frac{6-m}\sigma\right)=0.9772$ 이다.표준정규분포표로부터 $\displaystyle \frac{11-m}\sigma=-1$ 이고 $\displaystyle \frac{6-m}\sigma=-2$ 이므로 $\displaystyle m=16$ 이고 $\displaystyle \sigma=5$ 이다. 그러므로 $\displaystyle \mathrm P(1\le X\le21)=\mathrm P\left(\frac{1-16}5\le Z\le\frac{21-16}5\right)=\mathrm P(-3\le Z\le1)$ $\displaystyle =\mathrm P(0\le Z\le3)+\mathrm P(0\le Z\le1)=0.4987+0.3413=0.84$ 이다.

하위 문항	채점 기준	배점
【1-1】	$\displaystyle \mathrm P(A),\ \mathrm P(A^C\cap B),\ \mathrm P(A^C\cap B^C)$ 중 하나를 구하면 10점<br> $\displaystyle \mathrm P(B^C\|A^C)$ 을 구하면 10점<br> $\displaystyle \mathrm P(A),\ \mathrm P(A^C\cap B),\ \mathrm P(A^C\cap B^C)$ 값을 구하지 않고 $\displaystyle \mathrm P(B^C\|A^C)$ 을 구하면 20점	20
【1-2】 (1)	$\displaystyle k=4$ 를 구하면 20점<br> $\displaystyle \mathrm P(X=1)=\frac1{10}$ 을 구하면 10점	30
【1-2】 (2)	$\displaystyle \mathrm E(X)=\frac{1+a}3$ 을 구하면 10점<br> $\displaystyle \mathrm V(X)=\frac{2(a^2-4a+7)}9$ 을 구하면 10점<br> $\displaystyle \mathrm E(X)=\frac{1+a}3$ 을 구하지 않고 $\displaystyle \mathrm V(X)=\frac{2(a^2-4a+7)}9$ 을 구하면 20점<br> $\displaystyle a=2$ 를 구하면 10점	30
Correction. 이 소문항의 확률변수는 Y이다. 채점표의 $\displaystyle E(X),V(X)$ 는 각각 $\displaystyle E(Y),V(Y)$ 의 오기이다. 식의 값과 예시답안은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.
【1-3】	평균 $\displaystyle m$ 과 표준편차 $\displaystyle \sigma$ 를 구하면 각각 10점<br> $\displaystyle \mathrm P(1\le X\le21)$ 을 구하면 10점<br>평균 $\displaystyle m$ 과 표준편차 $\displaystyle \sigma$ 를 구하지 않고 $\displaystyle \mathrm P(1\le X\le21)$ 을 구하면 30점	30

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자연계열 I 1번

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