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자연계열 II 3번

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경북대 2020학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2020su/jayeon2_3

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문제

[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가)sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

(나) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌 구간 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]에서 연속이면 f(x)\displaystyle f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌 구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 열린 구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에서 미분가능하면,f(b)−f(a)b−a=f′(c)\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)인 c\displaystyle c가 열린 구간 (a,b)\displaystyle (a,b)에 적어도 하나 존재한다.

(라) 수렴하는 두 수열 {an},{bn}\displaystyle \{a_n\},\{b_n\}에 대하여lim⁡n→∞an=α=lim⁡n→∞bn\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha=\lim_{n\to\infty}b_n (α\displaystyle \alpha는 실수)일 때, 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이면lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

함수 f(x)=22sin⁡(x+π4)+csin⁡2x\displaystyle f(x)=2\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)+c\sin2x에 대하여 다음 물음에 답하시오. (단, c\displaystyle c는 상수이다.)

【3-1】 c=0\displaystyle c=0일 때, 닫힌 구간 [−π4,π4]\displaystyle \left[-\frac\pi4,\frac\pi4\right]에서 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 연속인 역함수 f−1\displaystyle f^{-1}를 갖는다. 닫힌 구간 [0,2]\displaystyle [0,2]에서 함수g(x)=∫0x(1−f−1(s)) ds\displaystyle g(x)=\int_0^x(1-f^{-1}(s))\,ds의 최댓값을 M\displaystyle M이라 하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) M\displaystyle M의 값을 구하시오. (20점)

(2) 자연수 n\displaystyle n에 대하여, x\displaystyle x에 대한 방정식 g(x)=Mn\displaystyle g(x)=\frac Mn의 근을 dn\displaystyle d_n이라 할 때, lim⁡n→∞ndn=bMa+π\displaystyle \lim_{n\to\infty}nd_n=\frac{bM}{a+\pi}이다. 자연수 a,b\displaystyle a,b의 값을 각각 구하시오. (30점)

【3-2】 실수 t\displaystyle t에 대하여, x\displaystyle x에 대한 방정식 f(x)=t (0≤x<2π)\displaystyle f(x)=t\ (0\le x<2\pi)의 서로 다른 실근의 개수를 h(t)\displaystyle h(t)라 하자. 다음 물음에 답하시오. (단, c>22\displaystyle c>\frac{\sqrt2}2)

(1) 구간 [0,2π)\displaystyle [0,2\pi)에서 방정식 f′(x)=0\displaystyle f^{\prime}(x)=0의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오. (30점)

(2) 함수 h(t)\displaystyle h(t)가 t=0\displaystyle t=0에서 불연속일 때c,h(0),lim⁡t→0−h(t),lim⁡t→0+h(t)\displaystyle c,\quad h(0),\quad\lim_{t\to0^-}h(t),\quad\lim_{t\to0^+}h(t)의 값을 각각 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2020학년도 수시 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2020su/jayeon2_3

+10점 · M=22\displaystyle M=2\sqrt2일때의 x\displaystyle x값 2를 구한다.

【3-1】(1) (20점)○ 모범답안: f(x)=22sin⁡(x+π4)\displaystyle f(x)=2\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)의 역함수 f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)는 닫힌 구간 [0,2]\displaystyle [0,2]사이에서 −π4≤f−1(x)≤0,1≤1−f−1(x)≤1+π4\displaystyle -\frac\pi4\le f^{-1}(x)\le0,\quad1\le1-f^{-1}(x)\le1+\frac\pi4이다.따라서 함수 g(x)\displaystyle g(x)의 피적분함수는 양수의 값을 가지므로 g(x)\displaystyle g(x)는 닫힌 구간 [0,2]\displaystyle [0,2]에서 증가한다. 그러므로 g(2)=M\displaystyle g(2)=M이다.

+10점 · M=22\displaystyle M=2\sqrt2를 구한다.

역함수의 성질에 의하여∫02f−1(s) ds=−∫−π/40f(x) dx=−∫−π/4022sin⁡(x+π4)dx=2−22\displaystyle \int_0^2f^{-1}(s)\,ds=-\int_{-\pi/4}^0f(x)\,dx=-\int_{-\pi/4}^02\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)dx=2-2\sqrt2이다. 따라서M=g(2)=2−∫02f−1(s) ds=22\displaystyle M=g(2)=2-\int_0^2f^{-1}(s)\,ds=2\sqrt2이다.

+5점 · a=4\displaystyle a=4를 구한다.
+5점 · b=4\displaystyle b=4를 구한다.
+20점 · lim⁡n→∞ndn=Mg′(0)\displaystyle \lim_{n\to\infty}nd_n=\frac M{g^{\prime}(0)}을 이용한다.

(2) (30점)○ 모범답안: 함수 g(x)\displaystyle g(x)가 닫힌 구간 [0,2]\displaystyle [0,2]에서 증가하고, g(2)=M\displaystyle g(2)=M이므로 자연수 n\displaystyle n에 대하여 방정식 g(x)=Mn\displaystyle g(x)=\frac Mn는 닫힌 구간 [0,2]\displaystyle [0,2]에서 하나의 실근 dn\displaystyle d_n을 갖는다. g(0)=0\displaystyle g(0)=0이고, 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 닫힌 구간 [0,2]\displaystyle [0,2]에서 연속이고 열린 구간 (0,2)\displaystyle (0,2)에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여Mn=g(dn)=dn(g(dn)−g(0)dn)=dng′(cn), 0<cn<dn≤2\displaystyle \frac Mn=g(d_n)=d_n\left(\frac{g(d_n)-g(0)}{d_n}\right)=d_ng'(c_n),\ 0<c_n<d_n\le2인 cn\displaystyle c_n이 존재한다. 1≤1−f−1(cn)=g′(cn)\displaystyle 1\le1-f^{-1}(c_n)=g'(c_n)이고 dn=Mng′(cn)≤Mn\displaystyle d_n=\frac M{ng'(c_n)}\le\frac Mn이므로 lim⁡n→∞dn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_n=0이다.f−1(x)\displaystyle f^{-1}(x)는 연속이고 f−1(0)=−π4\displaystyle f^{-1}(0)=-\frac\pi4이므로lim⁡n→∞ndn=lim⁡n→∞M1−f−1(cn)=M1−f−1(0)=4M4+π\displaystyle \lim_{n\to\infty}nd_n=\lim_{n\to\infty}\frac M{1-f^{-1}(c_n)}=\frac M{1-f^{-1}(0)}=\frac{4M}{4+\pi}따라서 a=b=4\displaystyle a=b=4이다.

+10점 · cos⁡x+sin⁡x=−1c\displaystyle \cos x+\sin x=-\frac1c의 근이 cos⁡x−sin⁡x=0\displaystyle \cos x-\sin x=0의 근과 중복되지 않음을 체크한다.

【3-2】(1) (30점)○ 모범답안: f′(x)=2(cos⁡x−sin⁡x)(1+c(cos⁡x+sin⁡x))\displaystyle f'(x)=2(\cos x-\sin x)(1+c(\cos x+\sin x))이므로 π4, 5π4\displaystyle \frac\pi4,\ \frac{5\pi}4와 방정식cos⁡x+sin⁡x=2(sin⁡xcos⁡π4+cos⁡xsin⁡π4)=2sin⁡(x+π4)=−1c\displaystyle \cos x+\sin x=\sqrt2\left(\sin x\cos\frac\pi4+\cos x\sin\frac\pi4\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)=-\frac1c의 근이 방정식 f′(x)=0\displaystyle f'(x)=0의 모든 근이다. −2<−1c<0\displaystyle -\sqrt2<-\frac1c<0이므로 곡선 y=2sin⁡(x+π4)\displaystyle y=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)와 y=−1c\displaystyle y=-\frac1c은 구간 [0,2π)\displaystyle [0,2\pi)에서 서로 다른 두 점에서 만나고, π4, 5π4\displaystyle \frac\pi4,\ \frac{5\pi}4는 방정식 cos⁡x+sin⁡x=−1c\displaystyle \cos x+\sin x=-\frac1c의 근이 될 수 없다.

+20점 · 실근의 개수 4를 구한다.

따라서 서로 다른 실근의 개수는 4이다.

+10점 · c=22\displaystyle c=2\sqrt2를 구한다.

(2) (40점)○ 모범답안: f(x)=t\displaystyle f(x)=t이고 w=2sin⁡(x+π4)=cos⁡x+sin⁡x\displaystyle w=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)=\cos x+\sin x이면,(cos⁡x+sin⁡x)2=1+2cos⁡xsin⁡x\displaystyle (\cos x+\sin x)^2=1+2\cos x\sin x이므로 함수 F(w)=c(w+1c)2−c−1c\displaystyle F(w)=c\left(w+\frac1c\right)^2-c-\frac1c라 할 때 F(w)=t\displaystyle F(w)=t이다. 따라서 방정식 f(x)=t\displaystyle f(x)=t의 모든 서로 다른 실근은 F(w)=c(w+1c)2−c−1c=t\displaystyle F(w)=c\left(w+\frac1c\right)^2-c-\frac1c=t인 각각의 w\displaystyle w에 대하여 (단, −2≤w≤2\displaystyle -\sqrt2\le w\le\sqrt2) 2sin⁡(x+π4)=w\displaystyle \sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)=w인 x\displaystyle x를 구함으로써 얻을 수 있다. 또한 2sin⁡(x1+π4)=w1,2sin⁡(x2+π4)=w2, w1≠w2\displaystyle \sqrt2\sin\left(x_1+\frac\pi4\right)=w_1,\quad\sqrt2\sin\left(x_2+\frac\pi4\right)=w_2,\ w_1\ne w_2이면 x1≠x2\displaystyle x_1\ne x_2이므로 근이 중복되는 경우가 없다. F(−1c)=−c−1c, F(−2)=c−22, F(2)=c+22\displaystyle F\left(-\frac1c\right)=-c-\frac1c,\ F(-\sqrt2)=c-2\sqrt2,\ F(\sqrt2)=c+2\sqrt2이고, c\displaystyle c의 조건으로부터 포물선 y=F(w)\displaystyle y=F(w)의 꼭짓점의 w\displaystyle w좌표 −1c∈[−2,2]\displaystyle -\frac1c\in[-\sqrt2,\sqrt2]이고 대소관계−c−1c<c−22<c+22\displaystyle -c-\frac1c<c-2\sqrt2<c+2\sqrt2가 성립한다. 따라서 구간 [−2,2]\displaystyle [-\sqrt2,\sqrt2]에서 방정식 F(w)=t\displaystyle F(w)=t의 실근의 개수를 H(t)\displaystyle H(t)라 하면H(t)={0(t<A, t>C)1(t=A, B<t≤C)2(A<t≤B)\displaystyle H(t)=\begin{cases}0&(t<A,\ t>C)\\1&(t=A,\ B<t\le C)\\2&(A<t\le B)\end{cases}이다. (단, A=−c−1c, B=c−22, C=2+2\displaystyle A=-c-\frac1c,\ B=c-2\sqrt2,\ C=2+\sqrt2) 삼각함수의 그래프를 이용하면 구간 [0,2π)\displaystyle [0,2\pi)에서 2sin⁡(x+π4)=w\displaystyle \sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)=w인 x\displaystyle x의 개수는 w=±2\displaystyle w=\pm\sqrt2일 때 1개, −2<w<2\displaystyle -\sqrt2<w<\sqrt2일 때 2개이므로Correction. 기호를 정의하는 문장의 C=2+2\displaystyle C=2+\sqrt2는 C=c+22\displaystyle C=c+2\sqrt2의 오기이다. 바로 위의 F(2)\displaystyle F(\sqrt2) 계산은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.h(t)={0(t<A, t>C)1(t=C)2(t=A, B<t<C)3(t=B)4(A<t<B)\displaystyle h(t)=\begin{cases}0&(t<A,\ t>C)\\1&(t=C)\\2&(t=A,\ B<t<C)\\3&(t=B)\\4&(A<t<B)\end{cases}이다. c\displaystyle c의 조건으로부터 h(t)\displaystyle h(t)의 불연속점들 중 A≠0, C≠0\displaystyle A\ne0,\ C\ne0이므로 c=22\displaystyle c=2\sqrt2이다.

+10점 · h(0)=3\displaystyle h(0)=3을 구한다.
+10점 · lim⁡t→0−h(t)=4\displaystyle \lim_{t\to0^-}h(t)=4를 구한다.
+10점 · lim⁡t→0+h(t)=2\displaystyle \lim_{t\to0^+}h(t)=2를 구한다.

h(0)=3, lim⁡t→0−h(t)=4, lim⁡t→0+h(t)=2\displaystyle h(0)=3,\ \lim_{t\to0^-}h(t)=4,\ \lim_{t\to0^+}h(t)=2이다.

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