자연계열 II 3번

【3-1】(1) (20점)○ 모범답안: $\displaystyle f(x)=2\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)$의 역함수 $\displaystyle f^{-1}(x)$는 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2]$사이에서 $\displaystyle -\frac\pi4\le f^{-1}(x)\le0,\quad1\le1-f^{-1}(x)\le1+\frac\pi4$이다.따라서 함수 $\displaystyle g(x)$의 피적분함수는 양수의 값을 가지므로 $\displaystyle g(x)$는 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 증가한다. 그러므로 $\displaystyle g(2)=M$이다.역함수의 성질에 의하여$\displaystyle \int_0^2f^{-1}(s)\,ds=-\int_{-\pi/4}^0f(x)\,dx=-\int_{-\pi/4}^02\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)dx=2-2\sqrt2$이다. 따라서$\displaystyle M=g(2)=2-\int_0^2f^{-1}(s)\,ds=2\sqrt2$이다.

(2) (30점)○ 모범답안: 함수 $\displaystyle g(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 증가하고, $\displaystyle g(2)=M$이므로 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 방정식 $\displaystyle g(x)=\frac Mn$는 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 하나의 실근 $\displaystyle d_n$을 갖는다. $\displaystyle g(0)=0$이고, 함수 $\displaystyle g(x)$는 닫힌 구간 $\displaystyle [0,2]$에서 연속이고 열린 구간 $\displaystyle (0,2)$에서 미분가능하므로 평균값 정리에 의하여$\displaystyle \frac Mn=g(d_n)=d_n\left(\frac{g(d_n)-g(0)}{d_n}\right)=d_ng'(c_n),\ 0<c_n<d_n\le2$인 $\displaystyle c_n$이 존재한다. $\displaystyle 1\le1-f^{-1}(c_n)=g'(c_n)$이고 $\displaystyle d_n=\frac M{ng'(c_n)}\le\frac Mn$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}d_n=0$이다.$\displaystyle f^{-1}(x)$는 연속이고 $\displaystyle f^{-1}(0)=-\frac\pi4$이므로$\displaystyle \lim_{n\to\infty}nd_n=\lim_{n\to\infty}\frac M{1-f^{-1}(c_n)}=\frac M{1-f^{-1}(0)}=\frac{4M}{4+\pi}$따라서 $\displaystyle a=b=4$이다.

【3-2】(1) (30점)○ 모범답안: $\displaystyle f'(x)=2(\cos x-\sin x)(1+c(\cos x+\sin x))$이므로 $\displaystyle \frac\pi4,\ \frac{5\pi}4$와 방정식$\displaystyle \cos x+\sin x=\sqrt2\left(\sin x\cos\frac\pi4+\cos x\sin\frac\pi4\right)=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)=-\frac1c$의 근이 방정식 $\displaystyle f'(x)=0$의 모든 근이다. $\displaystyle -\sqrt2<-\frac1c<0$이므로 곡선 $\displaystyle y=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)$와 $\displaystyle y=-\frac1c$은 구간 $\displaystyle [0,2\pi)$에서 서로 다른 두 점에서 만나고, $\displaystyle \frac\pi4,\ \frac{5\pi}4$는 방정식 $\displaystyle \cos x+\sin x=-\frac1c$의 근이 될 수 없다. 따라서 서로 다른 실근의 개수는 4이다.

(2) (40점)○ 모범답안: $\displaystyle f(x)=t$이고 $\displaystyle w=\sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)=\cos x+\sin x$이면,$\displaystyle (\cos x+\sin x)^2=1+2\cos x\sin x$이므로 함수 $\displaystyle F(w)=c\left(w+\frac1c\right)^2-c-\frac1c$라 할 때 $\displaystyle F(w)=t$이다. 따라서 방정식 $\displaystyle f(x)=t$의 모든 서로 다른 실근은 $\displaystyle F(w)=c\left(w+\frac1c\right)^2-c-\frac1c=t$인 각각의 $\displaystyle w$에 대하여 (단, $\displaystyle -\sqrt2\le w\le\sqrt2$) $\displaystyle \sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)=w$인 $\displaystyle x$를 구함으로써 얻을 수 있다. 또한 $\displaystyle \sqrt2\sin\left(x_1+\frac\pi4\right)=w_1,\quad\sqrt2\sin\left(x_2+\frac\pi4\right)=w_2,\ w_1\ne w_2$이면 $\displaystyle x_1\ne x_2$이므로 근이 중복되는 경우가 없다. $\displaystyle F\left(-\frac1c\right)=-c-\frac1c,\ F(-\sqrt2)=c-2\sqrt2,\ F(\sqrt2)=c+2\sqrt2$이고, $\displaystyle c$의 조건으로부터 포물선 $\displaystyle y=F(w)$의 꼭짓점의 $\displaystyle w$좌표 $\displaystyle -\frac1c\in[-\sqrt2,\sqrt2]$이고 대소관계$\displaystyle -c-\frac1c<c-2\sqrt2<c+2\sqrt2$가 성립한다. 따라서 구간 $\displaystyle [-\sqrt2,\sqrt2]$에서 방정식 $\displaystyle F(w)=t$의 실근의 개수를 $\displaystyle H(t)$라 하면$\displaystyle H(t)=\begin{cases}0&(t<A,\ t>C)\\1&(t=A,\ B<t\le C)\\2&(A<t\le B)\end{cases}$이다. (단, $\displaystyle A=-c-\frac1c,\ B=c-2\sqrt2,\ C=2+\sqrt2$) 삼각함수의 그래프를 이용하면 구간 $\displaystyle [0,2\pi)$에서 $\displaystyle \sqrt2\sin\left(x+\frac\pi4\right)=w$인 $\displaystyle x$의 개수는 $\displaystyle w=\pm\sqrt2$일 때 1개, $\displaystyle -\sqrt2<w<\sqrt2$일 때 2개이므로Correction. 기호를 정의하는 문장의 $\displaystyle C=2+\sqrt2$는 $\displaystyle C=c+2\sqrt2$의 오기이다. 바로 위의 $\displaystyle F(\sqrt2)$ 계산은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle h(t)=\begin{cases}0&(t<A,\ t>C)\\1&(t=C)\\2&(t=A,\ B<t<C)\\3&(t=B)\\4&(A<t<B)\end{cases}$이다. $\displaystyle c$의 조건으로부터 $\displaystyle h(t)$의 불연속점들 중 $\displaystyle A\ne0,\ C\ne0$이므로 $\displaystyle c=2\sqrt2$이다. $\displaystyle h(0)=3,\ \lim_{t\to0^-}h(t)=4,\ \lim_{t\to0^+}h(t)=2$이다.