자연계열 I 2번

【2-1】점 H에서 평면 $\displaystyle \alpha$에 내린 수선의 발 R와 점 P를 연결하는 (평면 $\displaystyle \alpha$위의) 선분과 인공위성 A가 이동하는 원 $\displaystyle O_a$와의 교점을 Q라 하자. 인공위성 A가 점 Q에 위치할 때, 점 A와 점 H사이의 거리가 최소가 된다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PH}}=15\sqrt2$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{HR}}=\frac{|1\times14+2\times16-2\times1+1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=15$이므로피타고라스 정리를 사용하면$\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}=\sqrt{\overline{\mathrm{PH}}^2-\overline{\mathrm{HR}}^2}=15,\ \overline{\mathrm{QR}}=\overline{\mathrm{PR}}-\overline{\mathrm{PQ}}=8$이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{HQ}}=\sqrt{\overline{\mathrm{HR}}^2+\overline{\mathrm{QR}}^2}=17$이다.

(별해)점 H에서 평면 $\displaystyle \alpha$에 내린 수선의 발 R와 점 P를 연결하는 (평면 $\displaystyle \alpha$위의) 선분과 인공위성 A가 이동하는 원 $\displaystyle O_a$와의 교점을 Q라 하자. 인공위성 A가 점 Q에 위치할 때, 점 A와 점 H사이의 거리가 최소가 된다.점 H를 지나면서 평면 $\displaystyle \alpha$와 수직인 직선의 벡터 방정식은 $\displaystyle (t+14,2t+16,-2t+1)$이다. 이것을 평면 $\displaystyle \alpha$의 방정식에 대입하면 $\displaystyle t=-5$임을 구할 수 있고, 따라서 수선의 발 R의 좌표는 $\displaystyle (9,6,11)$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{PR}}=15,\ \overline{\mathrm{QR}}=\overline{\mathrm{PR}}-\overline{\mathrm{PQ}}=8$이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{HR}}=\frac{|1\times14+2\times16-2\times1+1|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2)^2}}=15$이니$\displaystyle \overline{\mathrm{HQ}}=\sqrt{\overline{\mathrm{HR}}^2+\overline{\mathrm{QR}}^2}=17$이다.

【2-2】(1) ①과 ②에 알맞은 값은 각각 $\displaystyle \vec v\cdot\vec v=|\vec v|^2=98,\ 2|\vec u||\vec v|=98\sqrt2$이다.

(2) 두 인공위성이 최단거리에 위치했을 때의 시간을 $\displaystyle t=t_0$(분)이라 하고 그 때의 인공위성 A의 위치를 점 T라 하면, $\displaystyle \angle\mathrm{APT}$와 $\displaystyle \angle\mathrm{BPT}$의 차이의 시간에 따른 변화율은 $\displaystyle t_0\le t<t_0+15$에서$\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{8\pi}{60}-\frac{4\pi}{60}=\frac\pi{15}$이다.또한, 시간 $\displaystyle t\ (t_0\le t<t_0+15)$에서 인공위성 A와 인공위성 B사이의 거리를 $\displaystyle D=D(t),\ \angle\mathrm{APB}$를 $\displaystyle \theta=\theta(t)$라 하면, (1)에 의하여$\displaystyle D^2=49+98-98\sqrt2\cos\theta\ \Rightarrow\ 2D\frac{dD}{dt}=98\sqrt2\sin\theta\frac{d\theta}{dt}\quad\cdots\ (*)$이다.두 인공위성이 최단거리에 위치한 후 처음으로 $\displaystyle \angle\mathrm{APB}=45^\circ\ \left(t=t_0+\frac{15}4\right)$가 될 때, $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}$의 값은 $\displaystyle \frac\pi{15}$이고 $\displaystyle D=7$이다.따라서 (*)에 의해 $\displaystyle t=t_0+\frac{15}4$일 때 $\displaystyle \frac{dD}{dt}$의 값은 $\displaystyle \frac{7\pi}{15}$이다.

【2-3】두 벡터 $\displaystyle \vec e=(1,2,-2),\ \vec f=(4,-1,1)$은 각각 평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터, 직선 $\displaystyle l$의 방향벡터이다.벡터 $\displaystyle \vec y=(2,p,q)$는 인공위성 C의 회전축의 방향벡터이다. 벡터 $\displaystyle \vec z=(c,d,e)$는 벡터 $\displaystyle \vec f$와 수직이면서 평면 $\displaystyle \alpha$와 평행하다고 하면 $\displaystyle \vec f\perp\vec z,\ \vec e\perp\alpha$ 이므로 제시문 (다)에 의하여 다음의 연립방정식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \begin{cases}\vec f\cdot\vec z=4c-d+e=0\\\vec e\cdot\vec z=c+2d-2e=0\\\vec y\cdot\vec z=2c+pd+qe=0\end{cases}$연립방정식을 풀면 $\displaystyle c=0$이고 $\displaystyle d=e$이다. $\displaystyle d\ne0$이므로 $\displaystyle p+q=0$이다. 따라서 $\displaystyle \vec y=(2,p,-p)$ 또는 $\displaystyle \vec y=(2,-q,q)$이다.한편, 직선 $\displaystyle l$은 평면 $\displaystyle \alpha$위에 있으므로 원 $\displaystyle O_c$의 중심은 평면 $\displaystyle \alpha$위에 있다. 원 $\displaystyle O_c$의 넓이는 $\displaystyle 100\pi$이므로 그것을 평면 $\displaystyle \alpha$에 정사영 시켰을 때, 그 정사영으로 둘러싸인 도형의 넓이가 $\displaystyle 50\sqrt2\pi$이므로 제시문 (나)에 의하여 벡터 $\displaystyle \vec f$와 벡터 $\displaystyle \vec y$가 이루는 각의 크기는 $\displaystyle 45^\circ$ 또는 $\displaystyle 135^\circ$이다. $\displaystyle \pm\frac{\sqrt2}2=\frac{4-p}{\sqrt{9(p^2+2)}}$에서 $\displaystyle p$는 이차방정식 $\displaystyle 7p^2+16p-14=0$의 해가 되므로 $\displaystyle p=-q=\frac{-8\pm9\sqrt2}7$이고 $\displaystyle 6p-q=7p=-8\pm9\sqrt2$이다.그러므로 $\displaystyle (m,n)=(-8,\pm9)$이다.