자연계열 II 1번

【1-1】$\displaystyle f(x)=\frac1{t^3}(x-t)^2$이므로 $\displaystyle x=t\pm\sqrt{t^3m}$이다. 따라서 조건으로부터 $\displaystyle a(t)=t-\sqrt{t^3m}$이다.

【1-2】$\displaystyle a'(t)=1-\frac32\sqrt t\sqrt m$이므로 $\displaystyle a'(t)=0$인 $\displaystyle t$는 $\displaystyle \frac4{9m}$이다. 만약 $\displaystyle t<\frac4{9m}$이면 $\displaystyle a'(t)>0$이고 $\displaystyle t>\frac4{9m}$이면 $\displaystyle a'(t)<0$이다. 즉 $\displaystyle a(t)$의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle a(t)$의 증감을 이용하면 $\displaystyle m$이 $\displaystyle \frac4{9m}<\frac12$일 때 최댓값 $\displaystyle g(m)=a\left(\frac12\right)$이고, $\displaystyle \frac12\le\frac4{9m}<2$일 때 최댓값 $\displaystyle g(m)=a\left(\frac4{9m}\right)$이고, $\displaystyle \frac4{9m}\le2$일 때 최댓값 $\displaystyle g(m)=a(2)$이다. 따라서Correction. 오른쪽 끝점에서 최댓값을 얻는 경우의 $\displaystyle 4/(9m)\le2$는 $\displaystyle 4/(9m)\ge2$의 오기이다. 이후 제시한 $\displaystyle g(m)$의 구간별 식은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.$\displaystyle g(m)=\begin{cases}2-\sqrt{8m}&\left(0<m<\frac29\right)\\\frac4{27m}&\left(\frac29\le m<\frac89\right)\end{cases}$이다. 구간별로 미분하면$\displaystyle g'(m)=\begin{cases}-\frac{\sqrt2}{\sqrt m}&\left(0<m<\frac29\right)\\-\frac4{27m^2}&\left(\frac29<m<\frac89\right)\end{cases}$이다. 따라서 $\displaystyle m=\frac29$에서 함수 $\displaystyle g(m)$이 미분가능한지 확인하면 된다. $\displaystyle m=\frac29$에서 $\displaystyle g(m)$의 미분가능성을 조사해 보면$\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{g\left(h+\frac29\right)-g\left(\frac29\right)}h=\lim_{h\to0^+}\frac1h\left(\frac4{27\left(h+\frac29\right)}-\frac4{27\times\frac29}\right)=-3,$$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{g\left(h+\frac29\right)-g\left(\frac29\right)}h=\lim_{h\to0^-}\frac1h\left(\left(2-\sqrt{8\left(\frac29+h\right)}\right)-\left(2-\sqrt{8\times\frac29}\right)\right)=-3$이므로 $\displaystyle m=\frac29$에서 미분가능하다. 또한 도함수는 $\displaystyle g'(m)=\begin{cases}-\frac{\sqrt2}{\sqrt m}&\left(0<m<\frac29\right)\\-\frac4{27m^2}&\left(\frac29\le m<\frac89\right)\end{cases}$이다.

【1-3】 (1)【1-2】의 풀이로부터 $\displaystyle \frac{g(x)}{g'(x)}=\begin{cases}-(2-\sqrt{8x})\frac{\sqrt x}{\sqrt2}&\left(0<x<\frac29\right)\\-x&\left(\frac29\le x<\frac89\right)\end{cases}$이므로 $\displaystyle g(x)+xg'(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$의 범위는 $\displaystyle \frac29\le x<\frac89$이다. 따라서 $\displaystyle \beta=\frac79$이고 $\displaystyle \alpha=\frac29$이므로 $\displaystyle \beta-\alpha=\frac59$이다.

(2)$\displaystyle y=g(x)$위의 점 $\displaystyle (k,g(k))$에서의 접선은 $\displaystyle y=g'(k)(x-k)+g(k)$이고 $\displaystyle x$절편, $\displaystyle y$절편은 각각 $\displaystyle \frac{kg'(k)-g(k)}{g'(k)},\ g(k)-kg'(k)$이다. 따라서 $\displaystyle S(k)=-\frac1{2g'(k)}\{g(k)-kg'(k)\}^2$이다. 【1-2】의 풀이로부터 $\displaystyle g'(k)=\begin{cases}-\frac{\sqrt2}{\sqrt k}&\left(\frac19\le k<\frac29\right)\\-\frac4{27k^2}&\left(\frac29<k\le\frac79\right)\end{cases}$이므로 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac19,\frac79\right]$에서 $\displaystyle S(k)$는 연속이다. 또한, $\displaystyle S(k)$는 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac19,\frac29\right),\ \left(\frac29,\frac79\right)$ 각각에서 미분가능하며$\displaystyle S'(k)=\frac{g''(k)}{2g'(k)^2}(g(k)-kg'(k))(g(k)+kg'(k))$이다. 또한 위의 각 열린 구간에서 $\displaystyle g(k)-kg'(k)\ne0,\ g''(k)>0,g'(k)\ne0$이다. 따라서 $\displaystyle S'(k)=0$인 $\displaystyle k$는 방정식 $\displaystyle g(k)+kg'(k)=0$의 근이다. (1)의 풀이에 의하여 $\displaystyle g(k)+kg'(k)=0$을 만족시키는 모든 $\displaystyle k$의 집합은 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac29,\frac79\right]$이다. 이때,$\displaystyle S(k)=-\frac1{2g'(k)}(g(k)-kg'(k))^2=-\frac{2g(k)^2}{g'(k)}=\frac8{27}$이다. 또한 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac19,\frac29\right)$에서 $\displaystyle S'(k)<0$이므로 $\displaystyle S(k)$의 최댓값은 $\displaystyle \frac8{27}$이다.Correction. 마지막 문장의 $\displaystyle S'(k)<0$는 $\displaystyle S'(k)>0$의 오기이다. S는 이 구간에서 증가하며, 뒤의 최댓값 $\displaystyle 8/27$은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.