경북대 2020학년도 수시 자연계열 II 1번 해설

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가)(a) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 닫힌 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$ 에서 연속이면 $\displaystyle f(x)$ 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가진다.(b) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 열린 구간 $\displaystyle (\alpha,\beta)$ 에서 미분가능하고 닫힌 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$ 에서 연속일 때, $\displaystyle f(x)$ 의 극값과 양 끝점의 함숫값 $\displaystyle f(\alpha),f(\beta)$ 중에서 가장 큰 값이 닫힌 구간 $\displaystyle [\alpha,\beta]$ 에서 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 최댓값이다.

(나) 함수 $\displaystyle f(x)$ 에 대하여 극한값 $\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h$ 가 존재하면, 함수 $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 미분가능하다고 한다. 이때 이 극한값을 함수 $\displaystyle f(x)$ 의 $\displaystyle x=a$ 에서의 미분계수라 하며, 이것을 기호로 $\displaystyle f'(a)$ 와 같이 나타낸다.

(다) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 다음 세 조건을 만족시킬 때, $\displaystyle f(x)$ 는 $\displaystyle x=a$ 에서 연속이라고 한다.(a) $\displaystyle f(x)$ 가 $\displaystyle x=a$ 에서 정의되어 있다.(b) 극한값 $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)$ 가 존재한다.(c) $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

$\displaystyle \frac12\le t\le2$ 인 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여, 포물선 $\displaystyle y=f(x)$ 의 꼭짓점의 좌표는 $\displaystyle (t,0)$ 이고 $\displaystyle y$ 절편은 $\displaystyle \frac1t$ 이다. 다음 물음에 답하시오.

【1-1】 포물선 $\displaystyle y=f(x)$ 와 직선 $\displaystyle y=m$ 이 만나는 두 점 중 $\displaystyle x$ 좌표가 작은 점을 $\displaystyle \mathrm P(a(t),m)$ 이라 할 때, $\displaystyle a(t)$ 를 구하시오. (단, $\displaystyle 0<m<\frac89$ ) (20점)

【1-2】 $\displaystyle 0<m<\frac89$ 인 $\displaystyle m$ 에 대해, 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac12,2\right]$ 에서 【1-1】에 구한 함수 $\displaystyle a(t)$ 의 최댓값을 $\displaystyle g(m)$ 이라 하자. 미분계수의 정의를 이용하여 $\displaystyle g(m)$ 이 $\displaystyle m=\frac29$ 에서 미분가능함을 증명하고, 열린 구간 $\displaystyle \left(0,\frac89\right)$ 에서 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(m)$ 을 구하시오. (50점)

【1-3】【1-2】에서 구한 함수 $\displaystyle g(x)$ 와 도함수 $\displaystyle g^{\prime}(x)$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac19,\frac79\right]$ 에서 방정식 $\displaystyle g(x)+xg^{\prime}(x)=0$ 을 만족시키는 $\displaystyle x$ 의 최댓값을 $\displaystyle \beta$ , 최솟값을 $\displaystyle \alpha$ 라 할 때, $\displaystyle \beta-\alpha$ 의 값을 구하시오. (10점)

(2) 곡선 $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle (k,g(k))$ 에서의 접선과 $\displaystyle x$ 축 및 $\displaystyle y$ 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 $\displaystyle S(k)$ 라 하자. 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac19,\frac79\right]$ 에서 $\displaystyle S(k)$ 의 최댓값을 구하시오. (40점)

경북대 2020학년도 수시 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2020su/jayeon2_1

【1-1】 $\displaystyle f(x)=\frac1{t^3}(x-t)^2$ 이므로 $\displaystyle x=t\pm\sqrt{t^3m}$ 이다. 따라서 조건으로부터 $\displaystyle a(t)=t-\sqrt{t^3m}$ 이다.

【1-2】 $\displaystyle a'(t)=1-\frac32\sqrt t\sqrt m$ 이므로 $\displaystyle a'(t)=0$ 인 $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle \frac4{9m}$ 이다. 만약 $\displaystyle t<\frac4{9m}$ 이면 $\displaystyle a'(t)>0$ 이고 $\displaystyle t>\frac4{9m}$ 이면 $\displaystyle a'(t)<0$ 이다. 즉 $\displaystyle a(t)$ 의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle t$	$\displaystyle \cdots$	$\displaystyle \frac4{9m}$	$\displaystyle \cdots$
$\displaystyle a'(t)$	+	0	−
$\displaystyle a(t)$	$\displaystyle \nearrow$	$\displaystyle \frac4{27m}$	$\displaystyle \searrow$

$\displaystyle a(t)$ 의 증감을 이용하면 $\displaystyle m$ 이 $\displaystyle \frac4{9m}<\frac12$ 일 때 최댓값 $\displaystyle g(m)=a\left(\frac12\right)$ 이고, $\displaystyle \frac12\le\frac4{9m}<2$ 일 때 최댓값 $\displaystyle g(m)=a\left(\frac4{9m}\right)$ 이고, $\displaystyle \frac4{9m}\le2$ 일 때 최댓값 $\displaystyle g(m)=a(2)$ 이다. 따라서Correction. 오른쪽 끝점에서 최댓값을 얻는 경우의 $\displaystyle 4/(9m)\le2$ 는 $\displaystyle 4/(9m)\ge2$ 의 오기이다. 이후 제시한 $\displaystyle g(m)$ 의 구간별 식은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다. $\displaystyle g(m)=\begin{cases}2-\sqrt{8m}&\left(0<m<\frac29\right)\\\frac4{27m}&\left(\frac29\le m<\frac89\right)\end{cases}$ 이다. 구간별로 미분하면 $\displaystyle g'(m)=\begin{cases}-\frac{\sqrt2}{\sqrt m}&\left(0<m<\frac29\right)\\-\frac4{27m^2}&\left(\frac29<m<\frac89\right)\end{cases}$ 이다. 따라서 $\displaystyle m=\frac29$ 에서 함수 $\displaystyle g(m)$ 이 미분가능한지 확인하면 된다. $\displaystyle m=\frac29$ 에서 $\displaystyle g(m)$ 의 미분가능성을 조사해 보면 $\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{g\left(h+\frac29\right)-g\left(\frac29\right)}h=\lim_{h\to0^+}\frac1h\left(\frac4{27\left(h+\frac29\right)}-\frac4{27\times\frac29}\right)=-3,$ $\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{g\left(h+\frac29\right)-g\left(\frac29\right)}h=\lim_{h\to0^-}\frac1h\left(\left(2-\sqrt{8\left(\frac29+h\right)}\right)-\left(2-\sqrt{8\times\frac29}\right)\right)=-3$ 이므로 $\displaystyle m=\frac29$ 에서 미분가능하다. 또한 도함수는 $\displaystyle g'(m)=\begin{cases}-\frac{\sqrt2}{\sqrt m}&\left(0<m<\frac29\right)\\-\frac4{27m^2}&\left(\frac29\le m<\frac89\right)\end{cases}$ 이다.

【1-3】 (1)【1-2】의 풀이로부터 $\displaystyle \frac{g(x)}{g'(x)}=\begin{cases}-(2-\sqrt{8x})\frac{\sqrt x}{\sqrt2}&\left(0<x<\frac29\right)\\-x&\left(\frac29\le x<\frac89\right)\end{cases}$ 이므로 $\displaystyle g(x)+xg'(x)=0$ 을 만족시키는 $\displaystyle x$ 의 범위는 $\displaystyle \frac29\le x<\frac89$ 이다. 따라서 $\displaystyle \beta=\frac79$ 이고 $\displaystyle \alpha=\frac29$ 이므로 $\displaystyle \beta-\alpha=\frac59$ 이다.

(2) $\displaystyle y=g(x)$ 위의 점 $\displaystyle (k,g(k))$ 에서의 접선은 $\displaystyle y=g'(k)(x-k)+g(k)$ 이고 $\displaystyle x$ 절편, $\displaystyle y$ 절편은 각각 $\displaystyle \frac{kg'(k)-g(k)}{g'(k)},\ g(k)-kg'(k)$ 이다. 따라서 $\displaystyle S(k)=-\frac1{2g'(k)}\{g(k)-kg'(k)\}^2$ 이다. 【1-2】의 풀이로부터 $\displaystyle g'(k)=\begin{cases}-\frac{\sqrt2}{\sqrt k}&\left(\frac19\le k<\frac29\right)\\-\frac4{27k^2}&\left(\frac29<k\le\frac79\right)\end{cases}$ 이므로 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac19,\frac79\right]$ 에서 $\displaystyle S(k)$ 는 연속이다. 또한, $\displaystyle S(k)$ 는 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac19,\frac29\right),\ \left(\frac29,\frac79\right)$ 각각에서 미분가능하며 $\displaystyle S'(k)=\frac{g''(k)}{2g'(k)^2}(g(k)-kg'(k))(g(k)+kg'(k))$ 이다. 또한 위의 각 열린 구간에서 $\displaystyle g(k)-kg'(k)\ne0,\ g''(k)>0,g'(k)\ne0$ 이다. 따라서 $\displaystyle S'(k)=0$ 인 $\displaystyle k$ 는 방정식 $\displaystyle g(k)+kg'(k)=0$ 의 근이다. (1)의 풀이에 의하여 $\displaystyle g(k)+kg'(k)=0$ 을 만족시키는 모든 $\displaystyle k$ 의 집합은 닫힌 구간 $\displaystyle \left[\frac29,\frac79\right]$ 이다. 이때, $\displaystyle S(k)=-\frac1{2g'(k)}(g(k)-kg'(k))^2=-\frac{2g(k)^2}{g'(k)}=\frac8{27}$ 이다. 또한 열린 구간 $\displaystyle \left(\frac19,\frac29\right)$ 에서 $\displaystyle S'(k)<0$ 이므로 $\displaystyle S(k)$ 의 최댓값은 $\displaystyle \frac8{27}$ 이다.Correction. 마지막 문장의 $\displaystyle S'(k)<0$ 는 $\displaystyle S'(k)>0$ 의 오기이다. S는 이 구간에서 증가하며, 뒤의 최댓값 $\displaystyle 8/27$ 은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.

하위문항	채점 기준	배점
[1-1]	$\displaystyle f(x)=\frac1{t^3}(x-t)^2$	10
[1-1]	$\displaystyle a(t)=t-\sqrt{t^3m}$	10
[1-2]	$\displaystyle a^{\prime}(t)=0$ 인 $\displaystyle t$ 는 $\displaystyle \frac4{9m}$	10
[1-2]	$\displaystyle g(m)=\begin{cases}2-\sqrt{8m}&\left(0<m<\frac29\right)\\\frac4{27m}&\left(\frac29\le m<\frac89\right)\end{cases}$	15
[1-2]	$\displaystyle g^{\prime}(m)=\begin{cases}-\frac{\sqrt2}{\sqrt m}&\left(0<m<\frac29\right)\\-\frac4{27m^2}&\left(\frac29<m<\frac89\right)\end{cases}$	5
[1-2]	$\displaystyle \lim_{h\to0^+}\frac{g\left(h+\frac29\right)-g\left(\frac29\right)}h=-3$	10
[1-2]	$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\frac{g\left(h+\frac29\right)-g\left(\frac29\right)}h=-3$	10
[1-3] (1)	$\displaystyle \beta-\alpha=\frac59$	10
[1-3] (2)	$\displaystyle S(k)=-\frac1{2g^{\prime}(k)}(g(k)-kg^{\prime}(k))^2$ 또는<br> $\displaystyle S(k)=\begin{cases}\frac{\sqrt k}{2\sqrt2}(2-\sqrt{2k})^2&\left(0<m<\frac29\right)\\\frac8{27}&\left(\frac29\le m<\frac89\right)\end{cases}$	10
Correction. 채점표에서 $\displaystyle S(k)$ 의 구간 조건에 적힌 m은 k의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.
[1-3] (2)	$\displaystyle S^{\prime}(k)=\frac{g^{\prime\prime}(k)}{2g^{\prime}(k)^2}(g(k)-kg^{\prime}(k))(g(k)+kg^{\prime}(k))$	20
[1-3] (2)	$\displaystyle S(k)$ 의 최댓값은 $\displaystyle \frac8{27}$	10

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자연계열 II 1번

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