자연계열 I 3번

【3-1】함수 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 함수 $\displaystyle y=f^{-1}(x)$의 그래프는 직선 $\displaystyle y=x$에 대하여 대칭이고 조건 (b), (c)에 의해 $\displaystyle f(0)=0,f(1)=1$이므로 정적분과 넓이의 관계에 의하여 $\displaystyle \int_0^1(f(x)+f^{-1}(x))\,dx=1$이다. 따라서 $\displaystyle \int_0^1f^{-1}(x)\,dx=1-\int_0^1f(x)\,dx=\frac13$이고 $\displaystyle \int_0^1g(x)\,dx=\frac23-\frac13=\frac13$이다.(물론, $\displaystyle \int_0^1g(x)\,dx=2\int_0^1f(x)\,dx-\int_0^2(f(x)+f^{-1}(x))\,dx=\frac13$으로도 구할 수 있다.)Correction. 별해에서 두 함수를 더한 적분의 위끝 2는 1의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

【3-2】$\displaystyle y=f(x)$라 하면, 조건 (b)에 의해 $\displaystyle f^{-1}(y)+2=x+2=f^{-1}(y+2)$이고 $\displaystyle f^{-1}(-y)=-x=-f^{-1}(f(x))=-f^{-1}(y)$이다.즉, $\displaystyle f^{-1}$도 (b)를 만족시킨다.$\displaystyle \begin{aligned}g(x+1)+g(1-x)&=f(x+1)-f^{-1}(x+1)+f(1-x)-f^{-1}(1-x)\\&=f(x-1)+2-f^{-1}(x-1)-2-f(x-1)+f^{-1}(x-1)=0\end{aligned}$이다.

【3-3】(b)로부터 $\displaystyle f(0)=f^{-1}(0)=0,\ f(1)=f^{-1}(1)=1$이고 $\displaystyle g(0)=0=g(1)$이다.한 편, $\displaystyle 0=g(x_0)$인 $\displaystyle x_0\in(0,1)$이라고 한다면$\displaystyle 0=g(x_0)=f(x_0)-f^{-1}(x_0)\Leftrightarrow f(x_0)=f^{-1}(x_0)\Leftrightarrow f(f(x_0))=x_0$이다. 이때, $\displaystyle f(0)=0,\ f(1)=1$이고 $\displaystyle f(x)$는 역함수를 갖기 때문에 증가함수이다. 만약 $\displaystyle f(x_0)\ge x_0$이면 $\displaystyle x_0=(f\circ f)(x_0)\ge f(x_0)$이고 이는 $\displaystyle f(x_0)=x_0$이다. 같은 방법으로 $\displaystyle f(x_0)\le x_0$일 때도 $\displaystyle f(x_0)=x_0$를 보일 수 있다. 조건 (c)로부터 $\displaystyle x_0\in(0,1)$는 모순이다. 따라서 닫힌 구간 $\displaystyle [0,1]$에서 $\displaystyle g(x)=0$의 실근은 0과 1뿐이다.

【3-4】【3-2】풀이 과정에서 구한 $\displaystyle f^{-1}(-x)=-f^{-1}(x)$이므로 $\displaystyle g(x)=-g(-x)$이고 【3-2】에 의해 $\displaystyle g(x)=g(x+2)$이다.$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^{20}x^2|g(x)|\,dx&=\sum_{k=0}^9\int_{2k}^{2k+2}x^2|g(x)|\,dx&&\quad(x=2k+t)\\&=\sum_{k=0}^9\int_0^2(t+2k)^2|g(t)|\,dt&&\quad(\because g(x+2)=g(x))\\&=\sum_{k=0}^9\left(\int_0^1(t+2k)^2|g(t)|\,dt+\int_1^2(t+2k)^2|g(t)|\,dt\right)&&\quad(t=s+1)\ \&\ \text{【3-2】}\\&=\sum_{k=0}^9\left(\int_0^1(t+2k)^2|g(t)|\,dt+\int_0^1(s+2k+1)^2|g(1-s)|\,ds\right)&&\quad(r=1-s)\\&=\sum_{k=0}^9\int_0^1\{(r+2k)^2+(-r+2k+2)^2\}|g(r)|\,dr\end{aligned}$【3-3】과 조건 (d)에 의해 $\displaystyle g(x)$는 열린 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 양수이므로$\displaystyle \int_0^{20}x^2|g(x)|\,dx=8\left(\int_0^1g(x)\,dx\right)\sum_{k=0}^9(k^2+k)+10\int_0^1(4-4x+2x^2)g(x)\,dx$이다. 【3-1】에서 구한 $\displaystyle \int_0^1g(t)\,dt=\frac13$을 이용하면$\displaystyle \int_0^{20}x^2|g(x)|\,dx=\sum_{k=0}^9\int_{2k}^{2(k+1)}x^2|g(x)|\,dx=\frac89\times10\times9\times11+10\int_0^1(4-4x+2x^2)g(x)\,dx$이고$\displaystyle \int_1^{20}x^2|g(x)|\,dx=\frac89\times10\times9\times11+\int_0^1(40-40x+19x^2)g(x)\,dx$이므로 답은 880이다.