자연계열 II 2번

경북대 2020학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2020su/jayeon2_2

[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 서로 다른 $\displaystyle n$ 개에서 $\displaystyle r$ 개를 택하는 중복순열의 수는 $\displaystyle {}_n\Pi_r=n^r$ 이다.

(나) $\displaystyle n$ 개 중에서 같은 것이 각각 $\displaystyle p$ 개, $\displaystyle q$ 개, $\displaystyle \cdots$ , $\displaystyle r$ 개씩 있을 때, $\displaystyle n$ 개를 모두 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 $\displaystyle \frac{n!}{p!\times q!\times\cdots\times r!}$ 이다. (단, $\displaystyle p+q+\cdots+r=n$ )

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

두 정수 $\displaystyle m,n$ 에 대하여 좌표평면 위의 점 $\displaystyle (m,n)$ 을 격자점이라 하자. 격자점 $\displaystyle (m,n)$ 에 인접한 격자점은 $\displaystyle (m,n+1),(m,n-1),(m+1,n),(m-1,n)$ 뿐이고, 각각의 격자점을 순서대로 위로, 아래로, 오른쪽으로, 왼쪽으로 인접한다고 하자.

물체 M은 좌표평면 위에서 다음 규칙에 따라 이동한다.

(규칙 a) 시각 $\displaystyle t=0$ 일 때 물체 M은 격자점 $\displaystyle (0,0)$ 에 위치한다.

(규칙 b) 시각 $\displaystyle t=i$ 일 때 물체 M이 한 격자점에 위치하면, 시각 $\displaystyle t=i+1$ 일 때 물체 M이 그 격자점과 인접한 네 격자점에 위치할 확률은 각각 $\displaystyle \frac14$ 이다. (단, $\displaystyle i$ 는 음이 아닌 정수이다.)

물체 M을 점 M이라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

【2-1】 다음은 시각 $\displaystyle t=2N$ 일 때 물체 M이 격자점 $\displaystyle (m,n)$ 에 위치하면, 세 명제

(ⅰ) $\displaystyle m+n$ 은 짝수이다.

(ⅱ) $\displaystyle -2N\le m+n\le2N$

(ⅲ) $\displaystyle -2N\le m-n\le2N$

이 참임을 증명하는 과정이다. (단, $\displaystyle N$ 은 자연수이다.)

시각 $\displaystyle t=2N$ 에 물체 M이 격자점 $\displaystyle (m,n)$ 에 위치할 때, 시각 $\displaystyle t=0$ 부터 시각 $\displaystyle t=2N$ 까지 위로, 아래로, 오른쪽으로, 왼쪽으로 인접한 격자점으로 이동한 횟수를 각각 $\displaystyle u,d,r,l$ 이라 하자.이 경우 $\displaystyle u,d,r,l$ 은 연립방정식 $\displaystyle \begin{aligned}u+d+r+l&=\boxed{\text{①}}\times N\\u-d&=\boxed{\text{②}}\times m+\boxed{\text{③}}\times n\quad\cdots\ (*)\\r-l&=\boxed{\text{③}}\times m+\boxed{\text{②}}\times n\end{aligned}$ 을 만족시킨다. $\displaystyle m+n=\boxed{\text{④}}\times(N-d-l)$ 이므로 명제 (ⅰ)은 참이다. 또한, 연립방정식 (*)을 이용하면 $\displaystyle \vdots$ (중략) $\displaystyle \vdots$ 따라서 명제 (ⅱ)와 (ⅲ)은 참이다.

①, ②, ③, ④에 들어갈 알맞은 값을 각각 구하시오. (20점)

【2-2】 시각 $\displaystyle t=6$ 일 때 물체 M이 격자점 $\displaystyle (1,1)$ 에 위치할 확률은 $\displaystyle \frac c{1024}$ 이다. 자연수 $\displaystyle c$ 의 값을 구하시오. (40점)

【2-3】 시각 $\displaystyle t=2N$ 일 때 물체 M은 【2-1】의 세 명제를 만족시키는 모든 격자점 $\displaystyle (m,n)$ 에 위치할 수 있다. 실수 $\displaystyle q$ 에 대하여 집합 $\displaystyle R_q,S_q$ 를 $\displaystyle R_q=\{(x,y)\mid|x|+|y|=2^q,\ x,y\text{는 실수}\},$ $\displaystyle S_q=\{(x,y)\mid\max\{|x|,|y|\}=2^q,\ x,y\text{는 실수}\}$ 로 정의한다. 자연수 $\displaystyle k$ 에 대하여 시각 $\displaystyle t=2^{k+1}$ 에 물체 M이 위치할 수 있는 모든 격자점들 중에서 집합 $\displaystyle R_{k+1}\cup S_k\cup R_k\cup S_{k-1}\cup\cdots\cup R_1\cup S_0$ 에 속하는 점들의 개수를 $\displaystyle a_k$ 라 하자. $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k$ 의 값을 구하시오.(단, 실수 $\displaystyle a$ 와 $\displaystyle b$ 중 크거나 같은 수를 $\displaystyle \max\{a,b\}$ 라 하고, $\displaystyle N$ 은 자연수이다.) (50점)

해설강의 준비중

경북대 2020학년도 수시 자연계열 II 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2020su/jayeon2_2

+5점 · ①=2 +5점 · ②=0 +5점 · ③=1 +5점 · ④=2

【2-1】①=2, ②=0, ③=1, ④=2

+5점 ·

\displaystyle u,d,r,l

의 연립방정식을 나타내면 +15점 · 한 변수로 나머지 세 변수를 나타내면 +15점 · 총 경로의 수를 구하면 +5점 ·

\displaystyle c=75

를 구하면

【2-2】문제 【2-1】의 증명과정에서 $\displaystyle N=3,(m,n)=(1,1)$ 이므로 연립방정식 (*)은 $\displaystyle u+d+r+l=6$ $\displaystyle u-d=1$ $\displaystyle r-l=1$ $\displaystyle u=d+1,r=l+1$ 이므로 $\displaystyle d+l=2$ 이고 $\displaystyle l=2-d$ $\displaystyle u=1+d$ $\displaystyle r=1+l=3-d$ 6개 중에서 같은 것이 각각 $\displaystyle d$ 개, $\displaystyle 2-d$ 개, $\displaystyle 1+d$ 개, $\displaystyle 3-d$ 개씩 있을 때, 이들을 모두 택하여 일렬로 배열하는 순열의 수는 $\displaystyle \frac{6!}{d!\times(2-d)!\times(1+d)!\times(3-d)!}$ 여기서 $\displaystyle d=0,1,2$ 이므로 $\displaystyle t=6$ 일 때 물체 M이 격자점 $\displaystyle (1,1)$ 에 위치하는 총 경로의 수는 $\displaystyle \frac{6!}{0!\times2!\times1!\times3!}+\frac{6!}{1!\times1!\times2!\times2!}+\frac{6!}{2!\times0!\times3!\times1!}=60+180+60=300$ 물체 M이 $\displaystyle t=6$ 까지 이동 가능한 총 경로의 수는 $\displaystyle 4^6$ 이므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{300}{4^6}=\frac{\boxed{75}}{1024}$ 따라서 $\displaystyle c=75$ 이다.

+15점 · 도형

\displaystyle R_{k+1},R_k,R_{k-1},\cdots,R_1

위의 격자점의 개수를 구하면 +15점 · 도형

\displaystyle S_k,S_{k-1},S_{k-2},\cdots,S_0

위의 격자점의 개수를 구하면

【2-3】1) 물체 M이 시각 $\displaystyle t=2^{k+1}$ 에 위치할 수 있는 격자점은 마름모 $\displaystyle R_{k+1}$ 이나 내부에 있는 격자점 $\displaystyle (m,n)$ 중에서 $\displaystyle m+n$ 이 짝수인 것이다.2) 자연수 $\displaystyle q$ 에 대하여 마름모 $\displaystyle R_q$ 위의 모든 격자점은 성분의 합이 짝수이고, 그 개수는 $\displaystyle 4\times2^q$ 이다.3) 자연수 $\displaystyle q$ 에 대하여 정사각형 $\displaystyle S_q$ 위의 격자점 중 1사분면에 위치하고 좌표의 합이 짝수인 격자점은 $\displaystyle (2,2^q),(4,2^q),(6,2^q),\cdots,(2^q,2^q),(2^q,2^q-2),(2^q,2^q-4),(2^q,2^q-6),\cdots,(2^q,2)$ 이고 그 개수는 $\displaystyle 2\times2^{q-1}-1$ 이다. 대칭성에 의하여 제1,2,3,4사분면에 위치하고 성분의 합이 짝수인 격자점의 개수는 $\displaystyle 4\times2^q-4$ 이다. 또한 좌표축 위의 네 격자점 $\displaystyle (0,\pm2^q),(\pm2^q,0)$ 을 포함시키면, 정사각형 $\displaystyle S_q$ 위의 격자점 중 성분의 합이 짝수인 격자점의 개수는 $\displaystyle 4\times2^q$ 이다.

+15점 · 중복된 횟수를 제외하면 +5점 ·

\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=48504

를 구하면

4) 물체 M이 시각 $\displaystyle t=2^{k+1}$ 에 위치 가능한 격자점 중 도형 $\displaystyle R_{k+1},R_k,R_{k-1},\cdots,R_1$ 위에 놓인 격자점의 개수는 각각 $\displaystyle 4\times2^{k+1},4\times2^k,4\times2^{k-1},\cdots,4\times2^1$ 이고, 도형 $\displaystyle S_k,S_{k-1},S_{k-2},\cdots,S_0$ 위에 놓인 격자점의 개수는 각각 $\displaystyle 4\times2^k,4\times2^{k-1},4\times2^{k-2},\cdots,4\times2^0$ 이다. 또한 인접한 도형들은 4개의 격자점을 공유하므로 중복된 횟수를 제외하면 $\displaystyle \begin{aligned}a_k&=4\times2^{k+1}+8(2^k+2^{k-1}+\cdots+2^1)+4\times2^0-4(k+1)-4k\\&=4\times2^{k+1}+8(2^{k+1}-2)-8k=12\times2^{k+1}-8k-16\end{aligned}$ 따라서 $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}a_k=\sum_{k=1}^{10}(12\times2^{k+1}-8k-16)=48504$

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