수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 1번

오류 제보

경북대 2023학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2023mo/jayeon1_1

배점110점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 계승 n!=n(n−1)(n−2)×⋯×3×2×1, 0!=1\displaystyle n!=n(n-1)(n-2)\times\cdots\times3\times2\times1,\ 0!=1순열의 수 nPr=n!(n−r)!\displaystyle {}_n\mathrm P_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}조합의 수 nCr=n!(n−r)!r!\displaystyle {}_n\mathrm C_r=\dfrac{n!}{(n-r)!r!}

(나) 자연수의 거듭제곱의 합∑k=1nk=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^nk=\dfrac{n(n+1)}2∑k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6∑k=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle \sum_{k=1}^nk^3=\left\{\dfrac{n(n+1)}2\right\}^2

(다) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속인 함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여ddx∫axf(t) dt=f(x)(단, a<x<b)\displaystyle \dfrac d{dx}\int_a^xf(t)\,dt=f(x)\quad(\text{단, }a<x<b)

(라) 미분가능한 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 f′(a)=0\displaystyle f^{\prime}(a)=0이고 x=a\displaystyle x=a의 좌우에서 f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)\displaystyle f(x)는 x=a\displaystyle x=a에서 극소이고, 극솟값은 f(a)\displaystyle f(a)이다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【1-1】 다음 물음에 답하시오.

(1) ∑r=0410Pr10C10−r\displaystyle\sum_{r=0}^4\dfrac{{}_{10}\mathrm P_r}{{}_{10}\mathrm C_{10-r}}의 값을 구하시오. (25점)

(2) 등식 n+1P2+nCn−2=26\displaystyle {}_{n+1}\mathrm P_2+{}_n\mathrm C_{n-2}=26을 만족시키는 자연수 n\displaystyle n에 대하여 sin⁡πn\displaystyle \sin\dfrac\pi n의 값을 구하시오. (25점)

【1-2】 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 f(x)\displaystyle f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0\displaystyle f(x)=0의 두 실근이 −3\displaystyle -3, 3\displaystyle 3일 때, 다음 물음에 답하시오.

(1) 함수 g(x)=∫0xf(t) dt\displaystyle g(x)=\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt가 x=α\displaystyle x=\alpha에서 극솟값을 가질 때, α\displaystyle \alpha의 값을 구하시오. (20점)

(2) 함수 h(x)=∫xx+3f(t) dt\displaystyle h(x)=\displaystyle\int_x^{x+3}f(t)\,dt의 최솟값이 −334\displaystyle -\dfrac{33}4일 때, ∑k=110h(k)\displaystyle\sum_{k=1}^{10}h(k)의 값을 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2023학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2023mo/jayeon1_1

【1-1】

+20점 · (1) ∑r=04r!\displaystyle\sum_{r=0}^4r!를 구하면
+5점 · (2) 34\displaystyle 34를 구하면

Correction. 1-1 채점기준에서 “(2) 34를 구하면 5점”의 “(2)”는 “(1)”의 오기이다. 0!+1!+2!+3!+4!=34\displaystyle 0!+1!+2!+3!+4!=34는 (1)의 답이다. 원문 표기는 그대로 실었다.

(1) ∑r=0410Pr10C10−r=∑r=0410Pr10Cr=∑r=04r!=1+1+2+6+24=34\displaystyle\sum_{r=0}^4\dfrac{{}_{10}\mathrm P_r}{{}_{10}\mathrm C_{10-r}}=\sum_{r=0}^4\dfrac{{}_{10}\mathrm P_r}{{}_{10}\mathrm C_r}=\sum_{r=0}^4r!=1+1+2+6+24=34

+20점 · (2) n=4\displaystyle n=4를 구하면

(2) n+1P2+nCn−2=(n+1)n+n(n−1)2=26\displaystyle {}_{n+1}\mathrm P_2+{}_n\mathrm C_{n-2}=(n+1)n+\dfrac{n(n-1)}2=26따라서 (n+1)n+n(n−1)2−26=(n−4)(3n+13)=0\displaystyle (n+1)n+\dfrac{n(n-1)}2-26=(n-4)(3n+13)=0이므로 n=4\displaystyle n=4이고 Correction. 1-1 (2) 예시답안의 인수분해한 식에는 계수 12\displaystyle \frac12이 빠져 있다. 정확한 식은(n+1)n+n(n−1)2−26=(n−4)(3n+13)2=0\displaystyle (n+1)n+\frac{n(n-1)}2-26=\frac{(n-4)(3n+13)}2=0이다. 자연수 해 n=4\displaystyle n=4와 최종 답 22\displaystyle \frac{\sqrt2}2는 그대로이다. 원문 표기는 그대로 실었다.

+5점 · (2) sin⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2를 구하면

sin⁡π4=22\displaystyle \sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2

【1-2】

+5점 · (1) g′(x)=ddx∫0xf(t) dt=f(x)\displaystyle g^{\prime}(x)=\dfrac d{dx}\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt=f(x)를 구하면

(1) g′(x)=ddx∫0xf(t) dt=f(x)\displaystyle g^{\prime}(x)=\dfrac d{dx}\displaystyle\int_0^xf(t)\,dt=f(x)이고 f(x)=a(x−3)(x+3)\displaystyle f(x)=a(x-3)(x+3)이다.

+15점 · (1) α=3\displaystyle \alpha=3를 구하면

a>0\displaystyle a>0이므로 x=3\displaystyle x=3의 좌우에서 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 함수 g(x)\displaystyle g(x)는 x=3\displaystyle x=3에서 극솟값을 갖는다.

+5점 · (2) h(x)=a(3x2+9x−18)\displaystyle h(x)=a(3x^2+9x-18)을 구하면

(2) f(x)=a(x−3)(x+3)\displaystyle f(x)=a(x-3)(x+3)이라 할 때, h(x)=a(3x2+9x−18)\displaystyle h(x)=a(3x^2+9x-18)

+10점 · (2) x=−32\displaystyle x=-\dfrac32를 구하면

이므로 x=−32\displaystyle x=-\dfrac32일 때, h(x)\displaystyle h(x)는 최솟값을 갖는다.

+10점 · (2) a=13\displaystyle a=\dfrac13을 구하면

h(−32)=−99a4\displaystyle h\left(-\dfrac32\right)=-\dfrac{99a}4이므로 a=13\displaystyle a=\dfrac13

+5점 · (2) h(x)=x2+3x−6\displaystyle h(x)=x^2+3x-6을 구하면

이고 h(x)=x2+3x−6\displaystyle h(x)=x^2+3x-6이다.

+10점 · (2) ∑k=110h(k)=385+165−60=490\displaystyle\sum_{k=1}^{10}h(k)=385+165-60=490를 구하면

따라서 ∑k=110h(k)=385+165−60=490\displaystyle\sum_{k=1}^{10}h(k)=385+165-60=490이다.

h(x)=a(3x2+9x−18)\displaystyle h(x)=a(3x^2+9x-18) (5점)

x=−32\displaystyle x=-\dfrac32(10점)

a=13\displaystyle a=\dfrac13 (10점)

h(x)=x2+3x−6\displaystyle h(x)=x^2+3x-6 (5점)

∑k=110h(k)=385+165−60=490\displaystyle\sum_{k=1}^{10}h(k)=385+165-60=490 (10점)

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.