수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 3번

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경북대 2023학년도 모의 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2023mo/jayeon1_3

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[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 좌표평면 위를 움직이는 점 P\displaystyle \mathrm P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치 (x,y)\displaystyle (x,y)가 x=f(t)\displaystyle x=f(t), y=g(t)\displaystyle y=g(t)일 때, 시각 t=a\displaystyle t=a에서 t=b\displaystyle t=b까지 점 P\displaystyle \mathrm P가 움직인 거리 s\displaystyle s는s=∫ab(dxdt)2+(dydt)2 dt=∫ab{f′(t)}2+{g′(t)}2 dt\displaystyle \begin{aligned}s&=\int_a^b\sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2+\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2}\,dt\\&=\int_a^b\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}\,dt\end{aligned}

(나) 미분가능한 함수 t=g(x)\displaystyle t=g(x)의 도함수 g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 닫힌구간 [α,β]\displaystyle [\alpha,\beta]에서 연속이고, 함수 f(t)\displaystyle f(t)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, g(α)=a\displaystyle g(\alpha)=a, g(β)=b\displaystyle g(\beta)=b이면∫abf(t) dt=∫αβf(g(x))g′(x) dx\displaystyle \int_a^b f(t)\,dt=\int_\alpha^\beta f(g(x))g^{\prime}(x)\,dx

(다) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 임의의 세 실수 a,b,c\displaystyle a,b,c를 포함하는 닫힌구간에서 연속일 때,∫abf(x) dx+∫bcf(x) dx=∫acf(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx=\int_a^c f(x)\,dx

(라) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 f(x)≤g(x)\displaystyle f(x)\le g(x)일 때,∫abf(x) dx≤∫abg(x) dx\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\le\int_a^b g(x)\,dx

(마) ∣r∣<1\displaystyle |r|<1일 때, lim⁡n→∞rn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=0

(바) 수렴하는 두 수열 an\displaystyle {a_n}, bn\displaystyle {b_n}에 대하여lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=α(α는 실수)\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha\quad(\alpha\text{는 실수})일 때, 수열 cn\displaystyle {c_n}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이면 lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

좌표평면 위를 움직이는 점 P\displaystyle \mathrm P의 시각 t\displaystyle t에서의 위치 (x,y)\displaystyle (x,y)가x=cos⁡nt,y=sin⁡nt\displaystyle x=\cos^nt,\quad y=\sin^nt이다. 점 P\displaystyle \mathrm P가 t=0\displaystyle t=0에서 t=π2\displaystyle t=\dfrac\pi2까지 움직인 거리를 sn\displaystyle s_n, 점 P\displaystyle \mathrm P가 t=0\displaystyle t=0에서 t=π4\displaystyle t=\dfrac\pi4까지 움직인 거리를 an\displaystyle a_n, 점 P\displaystyle \mathrm P가 t=π4\displaystyle t=\dfrac\pi4에서 t=π2\displaystyle t=\dfrac\pi2까지 움직인 거리를 bn\displaystyle b_n이라 하자. (단, n\displaystyle n은 2\displaystyle 2 이상의 자연수)다음 물음에 답하시오.

【3-1】 s2\displaystyle s_2의 값과 s3\displaystyle s_3의 값을 각각 구하시오. (30점)

【3-2】 an=bn\displaystyle a_n=b_n임을 증명하시오. (30점)

【3-3】 음이 아닌 모든 실수 α,β\displaystyle \alpha,\beta에 대하여 성립하는 부등식(α−β)2≤α2+β2≤(α+β)2\displaystyle (\alpha-\beta)^2\le\alpha^2+\beta^2\le(\alpha+\beta)^2을 이용하여 lim⁡n→∞sn\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n의 값을 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

경북대 2023학년도 모의 자연계열 I 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2023mo/jayeon1_3

【3-1】 dxdt=−ncos⁡n−1tsin⁡t\displaystyle \dfrac{dx}{dt}=-n\cos^{n-1}t\sin t, dydt=nsin⁡n−1tcos⁡t\displaystyle \dfrac{dy}{dt}=n\sin^{n-1}t\cos t이므로sn=∫0π/2(−ncos⁡n−1tsin⁡t)2+(nsin⁡n−1tcos⁡t)2 dt=n∫0π/2sin⁡tcos⁡tcos⁡2n−4t+sin⁡2n−4t dt\displaystyle s_n=\int_0^{\pi/2}\sqrt{(-n\cos^{n-1}t\sin t)^2+(n\sin^{n-1}t\cos t)^2}\,dt=n\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t\sqrt{\cos^{2n-4}t+\sin^{2n-4}t}\,dt임을 알 수 있다. 따라서,

+15점 · s2=2\displaystyle s_2=\sqrt2를 구하면
+15점 · s3=32\displaystyle s_3=\dfrac32를 구하면

s2=2∫0π/2sin⁡tcos⁡t1+1 dt=22∫0π/2sin⁡tcos⁡t dt=2,s3=3∫0π/2sin⁡tcos⁡tcos⁡2t+sin⁡2t dt=3∫0π/2sin⁡tcos⁡t dt=32\displaystyle \begin{aligned}s_2&=2\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t\sqrt{1+1}\,dt=2\sqrt2\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt=\sqrt2,\\s_3&=3\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t\sqrt{\cos^2t+\sin^2t}\,dt=3\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt=\dfrac32\end{aligned}이다.

+15점 · π2−t=u\displaystyle \dfrac\pi2-t=u라 두고 치환적분을 이용하면

【3-2】 임의의 실수 t\displaystyle t에 대하여 sin⁡(π2−t)=cos⁡t\displaystyle \sin\left(\dfrac\pi2-t\right)=\cos t, cos⁡(π2−t)=sin⁡t\displaystyle \cos\left(\dfrac\pi2-t\right)=\sin t가 성립하므로, π2−t=u\displaystyle \dfrac\pi2-t=u라 두고 치환적분을 이용하면

+15점 · an=bn\displaystyle a_n=b_n임을 보이면

an=n∫0π/4sin⁡tcos⁡tcos⁡2n−4t+sin⁡2n−4t dt=n∫π/4π/2cos⁡usin⁡usin⁡2n−4u+cos⁡2n−4u du=bn\displaystyle a_n=n\int_0^{\pi/4}\sin t\cos t\sqrt{\cos^{2n-4}t+\sin^{2n-4}t}\,dt=n\int_{\pi/4}^{\pi/2}\cos u\sin u\sqrt{\sin^{2n-4}u+\cos^{2n-4}u}\,du=b_n임을 알 수 있다.

【3-3】sn=n∫0π/2sin⁡tcos⁡tcos⁡2n−4t+sin⁡2n−4t dt=n∫0π/4sin⁡tcos⁡tcos⁡2n−4t+sin⁡2n−4t dt+n∫π/4π/2sin⁡tcos⁡tcos⁡2n−4t+sin⁡2n−4t dt=an+bn\displaystyle \begin{aligned}s_n&=n\int_0^{\pi/2}\sin t\cos t\sqrt{\cos^{2n-4}t+\sin^{2n-4}t}\,dt\\&=n\int_0^{\pi/4}\sin t\cos t\sqrt{\cos^{2n-4}t+\sin^{2n-4}t}\,dt+n\int_{\pi/4}^{\pi/2}\sin t\cos t\sqrt{\cos^{2n-4}t+\sin^{2n-4}t}\,dt=a_n+b_n\end{aligned}이고 an=bn\displaystyle a_n=b_n이므로, sn=2an\displaystyle s_n=2a_n이 성립함을 알 수 있다.

+20점 · 부등식 n∫0π/4sin⁡tcos⁡t(cos⁡n−2t−sin⁡n−2t) dt≤an=n∫0π/4sin⁡tcos⁡tcos⁡2n−4t+sin⁡2n−4t dt≤n∫0π/4sin⁡tcos⁡t(cos⁡n−2t+sin⁡n−2t) dt\displaystyle n\int_0^{\pi/4}\sin t\cos t(\cos^{n-2}t-\sin^{n-2}t)\,dt\le a_n=n\int_0^{\pi/4}\sin t\cos t\sqrt{\cos^{2n-4}t+\sin^{2n-4}t}\,dt\le n\int_0^{\pi/4}\sin t\cos t(\cos^{n-2}t+\sin^{n-2}t)\,dt를 보이면

한편, 0≤t≤π4\displaystyle 0\le t\le\dfrac\pi4인 실수 t\displaystyle t에 대하여,cos⁡n−2t−sin⁡n−2t≤cos⁡2n−4t+sin⁡2n−4t≤cos⁡n−2t+sin⁡n−2t\displaystyle \cos^{n-2}t-\sin^{n-2}t\le\sqrt{\cos^{2n-4}t+\sin^{2n-4}t}\le\cos^{n-2}t+\sin^{n-2}t가 성립하므로,n∫0π/4sin⁡tcos⁡t(cos⁡n−2t−sin⁡n−2t) dt≤an=n∫0π/4sin⁡tcos⁡tcos⁡2n−4t+sin⁡2n−4t dt≤n∫0π/4sin⁡tcos⁡t(cos⁡n−2t+sin⁡n−2t) dt\displaystyle \begin{aligned}n\int_0^{\pi/4}\sin t\cos t(\cos^{n-2}t-\sin^{n-2}t)\,dt&\le a_n=n\int_0^{\pi/4}\sin t\cos t\sqrt{\cos^{2n-4}t+\sin^{2n-4}t}\,dt\\&\le n\int_0^{\pi/4}\sin t\cos t(\cos^{n-2}t+\sin^{n-2}t)\,dt\end{aligned}임을 알 수 있다.

+20점 · 부등식 2−4(22)n≤sn≤2\displaystyle 2-4\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^n\le s_n\le2를 보이면

여기서n∫0π/4sin⁡tcos⁡t(cos⁡n−2t−sin⁡n−2t) dt=[−cos⁡nt−sin⁡nt]0π/4=1−2(22)n,\displaystyle n\int_0^{\pi/4}\sin t\cos t(\cos^{n-2}t-\sin^{n-2}t)\,dt=\Biggl[-\cos^nt-\sin^nt\Biggr]_0^{\pi/4}=1-2\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^n,n∫0π/4sin⁡tcos⁡t(cos⁡n−2t+sin⁡n−2t) dt=[−cos⁡nt+sin⁡nt]0π/4=1\displaystyle n\int_0^{\pi/4}\sin t\cos t(\cos^{n-2}t+\sin^{n-2}t)\,dt=\Biggl[-\cos^nt+\sin^nt\Biggr]_0^{\pi/4}=1이므로, 1−2(22)n≤an≤1\displaystyle 1-2\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^n\le a_n\le1이 성립함을 알 수 있다.

+20점 · lim⁡n→∞sn=2\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=2를 구하면

따라서, 2−4(22)n≤sn≤2\displaystyle 2-4\left(\dfrac{\sqrt2}2\right)^n\le s_n\le2가 성립하므로 lim⁡n→∞sn=2\displaystyle \lim_{n\to\infty}s_n=2이다.

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