수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 3번

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경북대 2023학년도 모의 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2023mo/jayeon2_3

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[3] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 모든 실수 α,β\displaystyle \alpha,\beta에 대하여sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

(나) 삼각함수의 미분법(sin⁡x)′=cos⁡x\displaystyle (\sin x)^{\prime}=\cos x(cos⁡x)′=−sin⁡x\displaystyle (\cos x)^{\prime}=-\sin x(tan⁡x)′=sec⁡2x\displaystyle (\tan x)^{\prime}=\sec^2x(cot⁡x)′=−csc⁡2x\displaystyle (\cot x)^{\prime}=-\csc^2x(sec⁡x)′=sec⁡xtan⁡x\displaystyle (\sec x)^{\prime}=\sec x\tan x(csc⁡x)′=−csc⁡xcot⁡x\displaystyle (\csc x)^{\prime}=-\csc x\cot x

(다) 삼각함수의 성질sin⁡2x+cos⁡2x=1\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1tan⁡2x+1=sec⁡2x\displaystyle \tan^2x+1=\sec^2xcot⁡2x+1=csc⁡2x\displaystyle \cot^2x+1=\csc^2x

(라) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속이고 미분가능한 함수 x=g(t)\displaystyle x=g(t)에 대해서 a=g(α)\displaystyle a=g(\alpha), b=g(β)\displaystyle b=g(\beta)일 때 도함수 g′(t)\displaystyle g^{\prime}(t)가 α,β\displaystyle \alpha,\beta를 포함하는 구간에서 연속이면∫abf(x) dx=∫αβf(g(t))g′(t) dt\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\int_\alpha^\beta f(g(t))g^{\prime}(t)\,dt

(마) 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 두 함수 f(x)\displaystyle f(x), g(x)\displaystyle g(x)가 미분가능하고, f′(x)\displaystyle f^{\prime}(x), g′(x)\displaystyle g^{\prime}(x)가 연속일 때,∫abf(x)g′(x) dx=[f(x)g(x)]ab−∫abf′(x)g(x) dx\displaystyle \int_a^bf(x)g^{\prime}(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^bf^{\prime}(x)g(x)\,dx(금성 135)

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

【3-1】 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여cos⁡(x−π4)=12(sin⁡x+cos⁡x)\displaystyle \cos\left(x-\dfrac\pi4\right)=\dfrac1{\sqrt2}(\sin x+\cos x)가 성립함을 보이시오. (20점)

【3-2】 ∫0π21(sin⁡x+cos⁡x)10 dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\dfrac1{(\sin x+\cos x)^{10}}\,dx의 값을 구하시오. (50점)

【3-3】 ∫0π2x(sin⁡x+cos⁡x)10 dx\displaystyle \int_0^{\frac\pi2}\dfrac{x}{(\sin x+\cos x)^{10}}\,dx의 값을 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

경북대 2023학년도 모의 자연계열 II 3번 · mathesis.kr/archive/knu/2023mo/jayeon2_3

+20점 · 삼각함수의 덧셈공식을 사용하여 항등식을 보이면

【3-1】 삼각함수의 덧셈정리에 의해cos⁡(x−π4)=cos⁡xcos⁡π4+sin⁡xsin⁡π4=12(sin⁡x+cos⁡x)\displaystyle \cos\left(x-\dfrac\pi4\right)=\cos x\cos\dfrac\pi4+\sin x\sin\dfrac\pi4=\dfrac1{\sqrt2}(\sin x+\cos x)이다.

+30점 · 삼각함수의 성질과 치환적분법 혹은 부분적분법을 통해 다항식의 적분 형태로 변형하거나 점화식의 형태로 변형하면

【3-2】 모든 음이 아닌 정수 n\displaystyle n에 대해, In=∫0π/21(sin⁡x+cos⁡x)n dx\displaystyle I_n=\int_0^{\pi/2}\dfrac1{(\sin x+\cos x)^n}\,dx이라 하면, 3-1과 치환적분에 의해In=∫0π/21(sin⁡x+cos⁡x)n dx=∫0π/21(2cos⁡(x−π4))n dx=2−n2∫0π/2sec⁡n(x−π4) dx=2−n2∫−π/4π/4sec⁡nx dx\displaystyle \begin{aligned}I_n&=\int_0^{\pi/2}\dfrac1{(\sin x+\cos x)^n}\,dx\\&=\int_0^{\pi/2}\dfrac1{\left(\sqrt2\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)\right)^n}\,dx\\&=2^{-\frac n2}\int_0^{\pi/2}\sec^n\left(x-\dfrac\pi4\right)\,dx\\&=2^{-\frac n2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sec^nx\,dx\end{aligned}이다.2\displaystyle 2보다 큰 정수 n\displaystyle n에 대해, 닫힌구간 [−π4,π4]\displaystyle \left[-\dfrac\pi4,\dfrac\pi4\right]에서 두 함수 f(x)=sec⁡n−2x\displaystyle f(x)=\sec^{n-2}x와 g(x)=tan⁡x\displaystyle g(x)=\tan x이 미분가능하고 f′(x)=(n−2)sec⁡n−2xtan⁡x\displaystyle f^{\prime}(x)=(n-2)\sec^{n-2}x\tan x와 g′(x)=sec⁡2x\displaystyle g^{\prime}(x)=\sec^2x이 연속이므로, 부분적분법과 삼각함수의 성질에 의해In=2−n2∫−π/4π/4sec⁡nx dx=2−n2[sec⁡n−2xtan⁡x]−π/4π/4−2−n2∫−π/4π/4(n−2)sec⁡n−2xtan⁡2x dx=1−2−n2∫−π/4π/4(n−2)sec⁡nx dx+2−n2∫−π/4π/4(n−2)sec⁡n−2x dx=1−(n−2)In+n−22In−2\displaystyle \begin{aligned}I_n&=2^{-\frac n2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sec^nx\,dx\\&=2^{-\frac n2}\Biggl[\sec^{n-2}x\tan x\Biggr]_{-\pi/4}^{\pi/4}-2^{-\frac n2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(n-2)\sec^{n-2}x\tan^2x\,dx\\&=1-2^{-\frac n2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(n-2)\sec^nx\,dx+2^{-\frac n2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}(n-2)\sec^{n-2}x\,dx\\&=1-(n-2)I_n+\dfrac{n-2}2I_{n-2}\end{aligned}이다. 정리하면,In=1n−1+n−22n−2In−2\displaystyle I_n=\dfrac1{n-1}+\dfrac{n-2}{2n-2}I_{n-2}이고 I2=2−1∫−π/4π/4sec⁡2x dx=2−1[tan⁡x]−π/4π/4=1\displaystyle I_2=2^{-1}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\sec^2x\,dx=2^{-1}\Biggl[\tan x\Biggr]_{-\pi/4}^{\pi/4}=1이다.

+20점 · 정확한 답 83315\displaystyle \dfrac{83}{315}를 구하면

I4=13+I23=23I6=15+2I45=715I8=17+3I67=1235I10=19+4I89=83315\displaystyle \begin{aligned}I_4&=\dfrac13+\dfrac{I_2}3=\dfrac23& I_6&=\dfrac15+\dfrac{2I_4}5=\dfrac7{15}\\I_8&=\dfrac17+\dfrac{3I_6}7=\dfrac{12}{35}& I_{10}&=\dfrac19+\dfrac{4I_8}9=\dfrac{83}{315}\end{aligned}따라서 ∫0π/21(sin⁡x+cos⁡x)10 dx=83315\displaystyle \int_0^{\pi/2}\dfrac1{(\sin x+\cos x)^{10}}\,dx=\dfrac{83}{315}이다.

+30점 · 치환적분 등을 통해 우함수, 기함수 성질을 사용하여 특정 항이 0임을 보이거나 모범답안과 같은 치환적분을 적용하면

【3-3】 x=π2−t\displaystyle x=\dfrac\pi2-t에 대해, 치환적분법을 적용하면,∫0π/2x(sin⁡x+cos⁡x)10 dx=∫π/20−π2+t(sin⁡(π2−t)+cos⁡(π2−t))10 dt=∫π/20−π2+t(sin⁡t+cos⁡t)10 dt=∫0π/2π2−t(sin⁡t+cos⁡t)10 dt=∫0π/2π2−x(sin⁡x+cos⁡x)10 dx=π2∫0π/21(sin⁡x+cos⁡x)10 dx−∫0π/2x(sin⁡x+cos⁡x)10 dx\displaystyle \begin{aligned}&\int_0^{\pi/2}\dfrac{x}{(\sin x+\cos x)^{10}}\,dx\\&=\int_{\pi/2}^0\dfrac{-\dfrac\pi2+t}{\left(\sin\left(\dfrac\pi2-t\right)+\cos\left(\dfrac\pi2-t\right)\right)^{10}}\,dt\\&=\int_{\pi/2}^0\dfrac{-\dfrac\pi2+t}{(\sin t+\cos t)^{10}}\,dt\\&=\int_0^{\pi/2}\dfrac{\dfrac\pi2-t}{(\sin t+\cos t)^{10}}\,dt\\&=\int_0^{\pi/2}\dfrac{\dfrac\pi2-x}{(\sin x+\cos x)^{10}}\,dx\\&=\dfrac\pi2\int_0^{\pi/2}\dfrac1{(\sin x+\cos x)^{10}}\,dx-\int_0^{\pi/2}\dfrac{x}{(\sin x+\cos x)^{10}}\,dx\end{aligned}이다.

+20점 · 3-2에서 계산한 적분값의 π4\displaystyle \dfrac\pi4배가 된다는 것을 구하면

따라서 ∫0π/2x(sin⁡x+cos⁡x)10 dx=π4∫0π/21(sin⁡x+cos⁡x)10 dx=83π1260\displaystyle \int_0^{\pi/2}\dfrac{x}{(\sin x+\cos x)^{10}}\,dx=\dfrac\pi4\int_0^{\pi/2}\dfrac1{(\sin x+\cos x)^{10}}\,dx=\dfrac{83\pi}{1260}이다.

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