자연계열 II 1번

【1-1】 점 $\displaystyle \mathrm P_n(x_n,y_n)$은 원 $\displaystyle C_n$과 $\displaystyle C_{n+1}$위의 점이므로, $\displaystyle (x_n-a_n)^2+y_n^2=b_n^2$과 $\displaystyle (x_n-a_{n+1})^2+y_n^2=b_{n+1}^2$을 만족한다. $\displaystyle b_n^2-(x_n-a_n)^2=y_n^2=b_{n+1}^2-(x_n-a_{n+1})^2$으로부터 $\displaystyle x_n=(9\times2^{n-3}-2)r$를 구할 수 있고, $\displaystyle r=3$일 때, $\displaystyle x_3=21$이다.

【1-2】 $\displaystyle (x_n-a_n)^2+y_n^2=b_n^2$과 $\displaystyle y_n$이 양수라는 것으로부터 $\displaystyle y_n=\sqrt{b_n^2-(x_n^2-a_n)^2}$이고, $\displaystyle x_n=(9\times2^{n-3}-2)r$를 대입하면 $\displaystyle y_n=\sqrt{15}\times2^{n-3}r$를 구할 수 있다. 그러므로 원점과 점 $\displaystyle \mathrm P_n(x_n,y_n)$을 지나는 직선의 기울기는 $\displaystyle \dfrac{y_n}{x_n}=\dfrac{\sqrt{15}\times2^{n-3}}{9\times2^{n-3}-2}$이고, 극한값은 $\displaystyle \dfrac{\sqrt{15}}9$이다.Correction. 1-2 예시답안에서 $\displaystyle y_n$을 구하는 근호 안의 $\displaystyle x_n^2$은 $\displaystyle x_n$의 오기이다. 원의 방정식$\displaystyle (x_n-a_n)^2+y_n^2=b_n^2$과 $\displaystyle y_n>0$으로부터$\displaystyle y_n=\sqrt{b_n^2-(x_n-a_n)^2}$을 얻는다. 이어지는 $\displaystyle y_n=\sqrt{15}\,2^{n-3}r$와 기울기의 극한값 $\displaystyle \frac{\sqrt{15}}9$는 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.

【1-3】 $\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_{n+1}$이므로 원 $\displaystyle C_n$의 중심 $\displaystyle (a_n,0)$은 원 $\displaystyle C_{n+1}$위의 점이고, 점 $\displaystyle (a_n,0)$과 점 $\displaystyle \mathrm P_n$을 지나는 직선은 접선 $\displaystyle \ell_n$에 수직이므로 점 $\displaystyle \mathrm Q_n$의 좌표는 $\displaystyle (a_{n+1}+b_{n+1},0)=((3\times2^n-2)r,0)$이다.

두 점 $\displaystyle \mathrm P_n$과 $\displaystyle \mathrm P_{n+1}$을 지나는 직선의 방정식을 구하면 $\displaystyle \sqrt{15}x-9y+2\sqrt{15}r=0$이고, 점 $\displaystyle \mathrm Q_n$에서 이 직선까지 거리를 구하면 $\displaystyle d_n=\dfrac{3\sqrt{15}\times2^{n-2}r}{\sqrt6}$이다. 또한, 두 점 $\displaystyle \mathrm P_n$과 $\displaystyle \mathrm P_{n+1}$ 사이의 거리는 $\displaystyle 2^{n-1}r\sqrt6$이므로, 삼각형의 넓이 $\displaystyle s_n$은$\displaystyle s_n=\dfrac12\times2^{n-1}r\sqrt6\times\dfrac{3\sqrt{15}\times2^{n-2}r}{\sqrt6}=3\sqrt{15}\times4^{n-2}r^2$이다.

세 곡선 $\displaystyle y=s_nx^n$, $\displaystyle y=s_{n+1}x^n$, $\displaystyle y=s_nx^{n-1}$으로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle A_n$은 $\displaystyle s_{n+1}=4s_n$과$\displaystyle A_n=\int_0^{\frac14}(s_{n+1}x^n-s_nx^n)\,dx+\int_{\frac14}^1(s_nx^{n-1}-s_nx^n)\,dx$임을 이용하면, $\displaystyle A_n=\dfrac{s_n(4^n-1)}{n(n+1)4^n}$이고$\displaystyle \dfrac{A_{n+1}}{A_n}=\dfrac{n(4^{n+1}-1)}{(n+2)(4^n-1)}$이다.

$\displaystyle \dfrac{n(4^{n+1}-1)}{(n+2)(4^n-1)}>3$의 양변에 양수 $\displaystyle (n+2)(4^n-1)$을 곱하여 정리하면 $\displaystyle 2n+6>(6-n)4^n$이다. $\displaystyle 6$ 이상의 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 2n+6>(6-n)4^n$을 만족시키고, $\displaystyle 5$ 이하의 자연수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 2n+6>(6-n)4^n$을 만족시키지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있으므로, $\displaystyle \dfrac{A_{n+1}}{A_n}>3$을 만족 시키는 자연수 $\displaystyle n$의 최솟값은 $\displaystyle 6$이다.