수리논술, 이게 다다.

자연계열 II 1번

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경북대 2023학년도 모의 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2023mo/jayeon2_1

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[1] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 중심의 좌표가 (a,b)\displaystyle (a,b)이고 반지름의 길이가 r\displaystyle r인 원의 방정식은(x−a)2+(y−b)2=r2\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

(나) 점 (x1,y1)\displaystyle (x_1,y_1)과 직선 ax+by+c=0\displaystyle ax+by+c=0 사이의 거리는∣ax1+by1+c∣a2+b2\displaystyle \dfrac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}

(다) 두 함수 f(x),g(x)\displaystyle f(x),g(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x), y=g(x)\displaystyle y=g(x) 및 두 직선 x=a\displaystyle x=a, x=b\displaystyle x=b로 둘러싸인 도형의 넓이 S\displaystyle S는S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\displaystyle S=\int_a^b|f(x)-g(x)|\,dx

(라) 등비수열 rn\displaystyle {r^n}은① r>1\displaystyle r>1일 때, lim⁡n→∞rn=∞\displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=\infty (발산)② r=1\displaystyle r=1일 때, lim⁡n→∞rn=1\displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=1 (수렴)③ ∣r∣<1\displaystyle |r|<1일 때, lim⁡n→∞rn=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=0 (수렴)④ r≤−1\displaystyle r\le-1일 때, 수열 rn\displaystyle {r^n}은 발산한다.

※ 모든 문항에서 풀이과정을 반드시 기술하시오.

모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여an=(2n−2)r,bn=2n−1r(단, r는 자연수)\displaystyle a_n=(2^n-2)r,\quad b_n=2^{n-1}r\quad(\text{단, }r\text{는 자연수})이다. 중심이 (an,0)\displaystyle (a_n,0)이고 반지름이 bn\displaystyle b_n인 원을 Cn\displaystyle C_n이라 할 때, Cn\displaystyle C_n과 Cn+1\displaystyle C_{n+1}의 교점 중 y\displaystyle y좌표가 양수인 점을 Pn\displaystyle \mathrm P_n이라 하자.다음 물음에 답하시오.

【1-1】 점 P3\displaystyle \mathrm P_3의 x\displaystyle x좌표가 21\displaystyle 21이 되도록 하는 r\displaystyle r의 값을 구하시오. (20점)

【1-2】 원점과 점 Pn\displaystyle \mathrm P_n을 지나는 직선의 기울기를 mn\displaystyle m_n이라 할 때, lim⁡n→∞mn\displaystyle \lim_{n\to\infty}m_n의 값을 구하시오. (30점)

【1-3】 점 Pn\displaystyle \mathrm P_n에서 원 Cn\displaystyle C_n에 접하는 접선을 ℓn\displaystyle \ell_n이라 하고, ℓn\displaystyle \ell_n과 x\displaystyle x축과의 교점을 Qn\displaystyle \mathrm Q_n이라 하자. 세 점 Qn,Pn,Pn+1\displaystyle \mathrm Q_n,\mathrm P_n,\mathrm P_{n+1}을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 sn\displaystyle s_n이라 할 때, 세 곡선 y=snxn\displaystyle y=s_nx^n, y=sn+1xn\displaystyle y=s_{n+1}x^n, y=snxn−1\displaystyle y=s_nx^{n-1}으로 둘러싸인 도형의 넓이를 An\displaystyle A_n이라 하자. 부등식 An+1An>3\displaystyle \dfrac{A_{n+1}}{A_n}>3을 만족시키는 자연수 n\displaystyle n의 최솟값을 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

경북대 2023학년도 모의 자연계열 II 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2023mo/jayeon2_1

+10점 · 두 원의 방정식으로부터 하나의 식을 도출하면

【1-1】 점 Pn(xn,yn)\displaystyle \mathrm P_n(x_n,y_n)은 원 Cn\displaystyle C_n과 Cn+1\displaystyle C_{n+1}위의 점이므로, (xn−an)2+yn2=bn2\displaystyle (x_n-a_n)^2+y_n^2=b_n^2과 (xn−an+1)2+yn2=bn+12\displaystyle (x_n-a_{n+1})^2+y_n^2=b_{n+1}^2을 만족한다. bn2−(xn−an)2=yn2=bn+12−(xn−an+1)2\displaystyle b_n^2-(x_n-a_n)^2=y_n^2=b_{n+1}^2-(x_n-a_{n+1})^2

+10점 · xn=(9×2n−3−2)r\displaystyle x_n=(9\times2^{n-3}-2)r를 구하고 r=3\displaystyle r=3을 찾으면

으로부터 xn=(9×2n−3−2)r\displaystyle x_n=(9\times2^{n-3}-2)r를 구할 수 있고, r=3\displaystyle r=3일 때, x3=21\displaystyle x_3=21이다.

+20점 · yn=15×2n−3r\displaystyle y_n=\sqrt{15}\times2^{n-3}r를 찾으면

【1-2】 (xn−an)2+yn2=bn2\displaystyle (x_n-a_n)^2+y_n^2=b_n^2과 yn\displaystyle y_n이 양수라는 것으로부터 yn=bn2−(xn2−an)2\displaystyle y_n=\sqrt{b_n^2-(x_n^2-a_n)^2}이고, xn=(9×2n−3−2)r\displaystyle x_n=(9\times2^{n-3}-2)r를 대입하면 yn=15×2n−3r\displaystyle y_n=\sqrt{15}\times2^{n-3}r를 구할 수 있다. Correction. 1-2 예시답안에서 yn\displaystyle y_n을 구하는 근호 안의 xn2\displaystyle x_n^2은 xn\displaystyle x_n의 오기이다. 원의 방정식(xn−an)2+yn2=bn2\displaystyle (x_n-a_n)^2+y_n^2=b_n^2과 yn>0\displaystyle y_n>0으로부터yn=bn2−(xn−an)2\displaystyle y_n=\sqrt{b_n^2-(x_n-a_n)^2}을 얻는다. 이어지는 yn=15 2n−3r\displaystyle y_n=\sqrt{15}\,2^{n-3}r와 기울기의 극한값 159\displaystyle \frac{\sqrt{15}}9는 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.

+10점 · 기울기는 ynxn=15×2n−39×2n−3−2\displaystyle \dfrac{y_n}{x_n}=\dfrac{\sqrt{15}\times2^{n-3}}{9\times2^{n-3}-2}이고, 극한값은 159\displaystyle \dfrac{\sqrt{15}}9임을 찾으면

그러므로 원점과 점 Pn(xn,yn)\displaystyle \mathrm P_n(x_n,y_n)을 지나는 직선의 기울기는 ynxn=15×2n−39×2n−3−2\displaystyle \dfrac{y_n}{x_n}=\dfrac{\sqrt{15}\times2^{n-3}}{9\times2^{n-3}-2}이고, 극한값은 159\displaystyle \dfrac{\sqrt{15}}9이다.

+10점 · Qn\displaystyle \mathrm Q_n의 좌표는 (an+1+bn+1,0)=((3×2n−2)r,0)\displaystyle (a_{n+1}+b_{n+1},0)=((3\times2^n-2)r,0)임을 찾으면

【1-3】 an+1−an=bn+1\displaystyle a_{n+1}-a_n=b_{n+1}이므로 원 Cn\displaystyle C_n의 중심 (an,0)\displaystyle (a_n,0)은 원 Cn+1\displaystyle C_{n+1}위의 점이고, 점 (an,0)\displaystyle (a_n,0)과 점 Pn\displaystyle \mathrm P_n을 지나는 직선은 접선 ℓn\displaystyle \ell_n에 수직이므로 점 Qn\displaystyle \mathrm Q_n의 좌표는 (an+1+bn+1,0)=((3×2n−2)r,0)\displaystyle (a_{n+1}+b_{n+1},0)=((3\times2^n-2)r,0)이다.

+20점 · sn=12×2n−1r6×315×2n−2r6=315×4n−2r2\displaystyle s_n=\dfrac12\times2^{n-1}r\sqrt6\times\dfrac{3\sqrt{15}\times2^{n-2}r}{\sqrt6}=3\sqrt{15}\times4^{n-2}r^2임을 찾으면

두 점 Pn\displaystyle \mathrm P_n과 Pn+1\displaystyle \mathrm P_{n+1}을 지나는 직선의 방정식을 구하면 15x−9y+215r=0\displaystyle \sqrt{15}x-9y+2\sqrt{15}r=0이고, 점 Qn\displaystyle \mathrm Q_n에서 이 직선까지 거리를 구하면 dn=315×2n−2r6\displaystyle d_n=\dfrac{3\sqrt{15}\times2^{n-2}r}{\sqrt6}이다. 또한, 두 점 Pn\displaystyle \mathrm P_n과 Pn+1\displaystyle \mathrm P_{n+1} 사이의 거리는 2n−1r6\displaystyle 2^{n-1}r\sqrt6이므로, 삼각형의 넓이 sn\displaystyle s_n은sn=12×2n−1r6×315×2n−2r6=315×4n−2r2\displaystyle s_n=\dfrac12\times2^{n-1}r\sqrt6\times\dfrac{3\sqrt{15}\times2^{n-2}r}{\sqrt6}=3\sqrt{15}\times4^{n-2}r^2이다.

+10점 · An=sn(4n−1)n(n+1)4n\displaystyle A_n=\dfrac{s_n(4^n-1)}{n(n+1)4^n}을 찾으면

세 곡선 y=snxn\displaystyle y=s_nx^n, y=sn+1xn\displaystyle y=s_{n+1}x^n, y=snxn−1\displaystyle y=s_nx^{n-1}으로 둘러싸인 도형의 넓이 An\displaystyle A_n은 sn+1=4sn\displaystyle s_{n+1}=4s_n과An=∫014(sn+1xn−snxn) dx+∫141(snxn−1−snxn) dx\displaystyle A_n=\int_0^{\frac14}(s_{n+1}x^n-s_nx^n)\,dx+\int_{\frac14}^1(s_nx^{n-1}-s_nx^n)\,dx임을 이용하면, An=sn(4n−1)n(n+1)4n\displaystyle A_n=\dfrac{s_n(4^n-1)}{n(n+1)4^n}이고An+1An=n(4n+1−1)(n+2)(4n−1)\displaystyle \dfrac{A_{n+1}}{A_n}=\dfrac{n(4^{n+1}-1)}{(n+2)(4^n-1)}이다.

+20점 · An+1An>3\displaystyle \dfrac{A_{n+1}}{A_n}>3을 만족 시키는 자연수 n\displaystyle n의 최솟값은 6\displaystyle 6임을 찾으면

n(4n+1−1)(n+2)(4n−1)>3\displaystyle \dfrac{n(4^{n+1}-1)}{(n+2)(4^n-1)}>3의 양변에 양수 (n+2)(4n−1)\displaystyle (n+2)(4^n-1)을 곱하여 정리하면 2n+6>(6−n)4n\displaystyle 2n+6>(6-n)4^n이다. 6\displaystyle 6 이상의 자연수 n\displaystyle n은 2n+6>(6−n)4n\displaystyle 2n+6>(6-n)4^n을 만족시키고, 5\displaystyle 5 이하의 자연수 n\displaystyle n은 2n+6>(6−n)4n\displaystyle 2n+6>(6-n)4^n을 만족시키지 않는다는 것을 쉽게 알 수 있으므로, An+1An>3\displaystyle \dfrac{A_{n+1}}{A_n}>3을 만족 시키는 자연수 n\displaystyle n의 최솟값은 6\displaystyle 6이다.

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