자연계열 I 2번

【2-1】 $\displaystyle f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$라 하자.$\displaystyle m$이 양수이므로 조건 (가)에 의해 $\displaystyle f(m)>0$이고 조건 (나)에 의해 $\displaystyle g(m)=0$이다.

조건 (나)에 의해 $\displaystyle f(x)=0$의 근이 아닌 실수 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)=\dfrac{(x-m)(x+1)}{f(x)}$이다.만약 $\displaystyle f(-1)\ne0$이라고 가정하면 삼차식 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x-m$과 $\displaystyle x+1$를 인수로 가지지 않는다.한편, $\displaystyle f(x)=0$은 삼차방정식이므로 적어도 실근 $\displaystyle 1$개를 항상 가진다. 그 실근을 $\displaystyle x=\alpha$라고 하면 $\displaystyle \lim_{x\to\alpha+}g(x)=\infty$ 또는 $\displaystyle \lim_{x\to\alpha+}g(x)=-\infty$이므로 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=\alpha$에서 불연속이고 $\displaystyle g(x)$는 연속함수라는 조건에 모순이다. 그러므로 $\displaystyle f(-1)=0$이다.

조건 (다)에 의해 $\displaystyle 3a+2b+c=10$이고 $\displaystyle 1\le a,b,c,d\le4$인 자연수이므로 다음 두 가지 경우가 존재한다.(i) $\displaystyle a=2,b=1,c=2,d=3$; (ii) $\displaystyle a=1,b=2,c=3,d=2$$\displaystyle f(-1)=0$을 이용하면 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$를 각각 다음과 같이 구할 수 있다.(i) $\displaystyle f(x)=2x^3+x^2+2x+3=(x+1)(2x^2-x+3)$이고 $\displaystyle g(x)=\dfrac{x-m}{2x^2-x+3}$(ii) $\displaystyle f(x)=x^3+2x^2+3x+2=(x+1)(x^2+x+2)$이고 $\displaystyle g(x)=\dfrac{x-m}{x^2+x+2}$

(i)과 (ii)는 모두 $\displaystyle g(x)$의 분모가 $\displaystyle 0$인 실수 $\displaystyle x$가 존재하지 않으므로 $\displaystyle g(x)$는 연속함수이다. 즉, 조건을 만족하는 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$는 (i)와 (ii) 경우 모두 성립한다. 그러므로 $\displaystyle f(2)$의 값은 $\displaystyle 27$ 또는 $\displaystyle 24$이다.

【2-2】 $\displaystyle\lim_{x\to-1}\dfrac{f(x)}{x+1}=6$을 만족하는 경우는 오직 (i) 경우이다. 그러므로 $\displaystyle g(x)=\dfrac{x-m}{2x^2-x+3}$이다.

$\displaystyle g(x)=\dfrac4{g(x)}$에서 $\displaystyle {g(x)}^2=4$이므로, $\displaystyle g(x)=2$ 또는 $\displaystyle g(x)=-2$이다.① $\displaystyle g(x)=2$이면 $\displaystyle 4x^2-3x+6+m=0$이고 $\displaystyle m=-\dfrac{87}{16}$이다. 그러나 $\displaystyle m>0$이라는 조건에 모순이다.② $\displaystyle g(x)=-2$이면 $\displaystyle 4x^2-x+6-m=0$이고 $\displaystyle m=\dfrac{95}{16}$이다.

【2-3】 $\displaystyle f(0)=3$만족하는 경우는 오직 (i)경우이다. 따라서 $\displaystyle g(x)=\dfrac{x-m}{2x^2-x+3}$이다.

함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=m$에서 미분가능하므로$\displaystyle\lim_{x\to m-}\dfrac{h(x)-h(m)}{x-m}=\lim_{x\to m+}\dfrac{h(x)-h(m)}{x-m}$에서$\displaystyle\lim_{x\to m-}\dfrac{\{k-g(x-m)\}-k}{x-m}=\lim_{x\to m+}\dfrac{(x-m)g(x)-0}{x-m}$이고 $\displaystyle -g^{\prime}(0)=g(m)$.Correction. 2-3 예시답안의 좌미분계수에서 분자 끝에 뺀 $\displaystyle k$는 $\displaystyle 0$의 오기이다. 함수의 정의에 따라 $\displaystyle h(m)=0$이고, 연속 조건에서 $\displaystyle k=g(0)$이므로$\displaystyle \lim_{x\to m^-}\frac{k-g(x-m)-0}{x-m}=-g'(0)$이다. 이는 바로 다음 줄의 계산과 일치하며, 최종 답 $\displaystyle m=3$, $\displaystyle k=-1$은 맞다. 원문 표기는 그대로 실었다.따라서 $\displaystyle m=3$이다.

함수 $\displaystyle h(x)$가 $\displaystyle x=m$에서 연속이므로$\displaystyle\lim_{x\to m-}\{k-g(x-m)\}=\lim_{x\to m+}(x-m)g(x)=h(m)$에서 $\displaystyle k=g(0)$이다.그러므로 $\displaystyle k=-\dfrac m3=-1$이다.