자연계열 II 2번

【2-1】 (1) (i) $\displaystyle c$가 양수일 경우 $\displaystyle a_1=c$이므로, $\displaystyle a_2=2c,a_3=c,a_4=2c,\cdots$즉, $\displaystyle a_n=\begin{cases}c&(n\text{은 홀수})\\2c&(n\text{은 짝수})\end{cases}$임을 알 수 있다. 따라서, 수열 $\displaystyle {a_n}$은 발산한다.

(ii) $\displaystyle c$가 음수일 경우 $\displaystyle a_1=c$이므로, $\displaystyle a_2=0,a_3=c,a_4=0,\cdots$즉, $\displaystyle a_n=\begin{cases}c&(n\text{은 홀수})\\0&(n\text{은 짝수})\end{cases}$임을 알 수 있다. 따라서, 수열 $\displaystyle {a_n}$은 발산한다.

(2) $\displaystyle \begin{aligned}f^2(x)&=(f\circ f)(x)\\&=f(c+\sqrt{2cx-x^2})\\&=c+\sqrt{2c(c+\sqrt{2cx-x^2})-(c+\sqrt{2cx-x^2})^2}\\&=c+\sqrt{(c-x)^2}\\&=c+|x-c|\end{aligned}$위의 식으로부터

(i) $\displaystyle c$가 양수일 경우$\displaystyle 0\le a_1<c$이면 $\displaystyle a_n=\begin{cases}a_1&(n=1)\\a_2&(n\text{은 짝수})\\2c-a_1&(n\text{은 홀수},n>1)\end{cases}$이고 $\displaystyle c<a_1\le2c$이면 $\displaystyle a_n=\begin{cases}a_1&(n\text{은 홀수})\\a_2&(n\text{은 짝수})\end{cases}$이다.따라서, 수열 $\displaystyle {a_n}$이 수렴하기 위해 $\displaystyle 0\le a_1<c$이면 $\displaystyle a_2=2c-a_1$이고, $\displaystyle c<a_1\le2c$이면 $\displaystyle a_1=a_2$가 성립해야 한다.즉, $\displaystyle 0\le a_1<c$이면 $\displaystyle 2c-a_1=a_2=f(a_1)=c+\sqrt{2ca_1-a_1^2}$이고 $\displaystyle a_1=\dfrac{2c-\sqrt{2c^2}}2=\dfrac{c(2-\sqrt2)}2$이며,$\displaystyle c<a_1\le2c$이면 $\displaystyle a_1=a_2=f(a_1)=c+\sqrt{2ca_1-a_1^2}$이고 $\displaystyle a_1=\dfrac{2c+\sqrt{2c^2}}2=\dfrac{c(2+\sqrt2)}2$이다.

(ii) $\displaystyle c$가 음수일 경우$\displaystyle 2c\le a_1<c$이면 $\displaystyle a_n=\begin{cases}a_1&(n=1)\\a_2&(n\text{은 짝수})\\2c-a_1&(n\text{은 홀수},n>1)\end{cases}$이고 $\displaystyle c<a_1\le0$이면 $\displaystyle a_n=\begin{cases}a_1&(n\text{은 홀수})\\a_2&(n\text{은 짝수})\end{cases}$이다.따라서, 수열 $\displaystyle {a_n}$이 수렴하기 위해 $\displaystyle 2c\le a_1<c$이면 $\displaystyle a_2=2c-a_1$이고 $\displaystyle c<a_1\le0$이면 $\displaystyle a_1=a_2$가 성립해야 한다.즉, $\displaystyle 2c\le a_1<c$이면 $\displaystyle 2c-a_1=a_2=f(a_1)=c+\sqrt{2ca_1-a_1^2}$이고 $\displaystyle a_1=\dfrac{2c-\sqrt{2c^2}}2=\dfrac{c(2+\sqrt2)}2$이며,$\displaystyle c<a_1\le0$이면 $\displaystyle a_1=a_2=f(a_1)=c+\sqrt{2ca_1-a_1^2}$이고 $\displaystyle a_1=\dfrac{2c+\sqrt{2c^2}}2=\dfrac{c(2-\sqrt2)}2$이다.

따라서, 답은 $\displaystyle \dfrac{c(2\pm\sqrt2)}2$이다.

【2-2】 (1) 문제의 조건으로부터 $\displaystyle f\left(\dfrac1x\right)f^{\prime}(x)=\dfrac1x$임을 알 수 있다.한편, $\displaystyle \begin{aligned}g^{\prime}(x)&=f^{\prime}(x)f\left(\dfrac1x\right)+f(x)f^{\prime}\left(\dfrac1x\right)\left(-\dfrac1{x^2}\right)\\&=\dfrac1x+x\left(-\dfrac1{x^2}\right)=0.\end{aligned}$즉, $\displaystyle g(x)$는 상수함수이다.

따라서, $\displaystyle \dfrac{g(2023)}{g(2022)}=1$이다.

(2) (1)에 의해 $\displaystyle g(x)$는 상수함수이므로 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle g(x)=g(1)=t$이다.즉, $\displaystyle f(x)f\left(\dfrac1x\right)=g(x)=t$이다.한편, $\displaystyle f\left(\dfrac1x\right)f^{\prime}(x)=\dfrac1x$이므로 $\displaystyle \dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=\dfrac1{tx}$이다.

따라서 $\displaystyle \int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\int\dfrac1{tx}\,dx$이고 $\displaystyle \ln f(x)=\dfrac1t\ln x+C=\ln x^{\frac1t}+\ln e^C=\ln e^Cx^{\frac1t}$,즉, $\displaystyle f(x)=e^Cx^{\frac1t}$이다. ($\displaystyle C$는 적분상수)그러므로 $\displaystyle t=f(x)f\left(\dfrac1x\right)=(e^Cx^{\frac1t})(e^Cx^{-\frac1t})=(e^C)^2$이고 $\displaystyle f(x)=\sqrt t x^{\frac1t}$이다.

함수 $\displaystyle h(t)=f(e)=\sqrt t e^{\frac1t}$에 대하여 $\displaystyle h^{\prime}(t)=\dfrac{\sqrt[t]e(t-2)}{2\sqrt{t^3}}$이므로 구간 $\displaystyle 1\le t\le3$에서 $\displaystyle h(t)$는 $\displaystyle t=2$일 때 최솟값 $\displaystyle \sqrt{2e}$를 가진다.