인문사회계 Ⅱ 2번

전체 직원들의 집합을 $\displaystyle U$, 40세 미만 직원들의 집합을 $\displaystyle Y$, 안정을 더 중요시하는 직원들의 집합을 $\displaystyle A$라고 하자. 이 경우 40세 이상 직원들의 집합은 $\displaystyle Y^c$, 성장을 더 중요시하는 직원들의 집합은 $\displaystyle A^c$이며, $\displaystyle Y\cup Y^c=U$ 그리고 $\displaystyle A\cup A^c=U$이다. 문제의 조건에 따르면 $\displaystyle P(Y)=0.4,\ P(Y^c)=0.6$이다. 또한 40세 미만 직원들이 안정 또는 성장을 더 중요시할 조건부확률은 $\displaystyle P(A|Y)=0.2,\ P(A^c|Y)=0.8$이다. 그리고 40세 이상 직원들이 안정 또는 성장을 더 중요시할 조건부확률은 $\displaystyle P(A|Y^c)=0.7,\ P(A^c|Y^c)=0.3$이다. 문제에서는 이러한 정보를 바탕으로 $\displaystyle P(Y|A)$를 구할 것을 요구한다.조건부확률 공식에 따라 $\displaystyle P(Y|A)=\frac{P(Y\cap A)}{P(A)}$이다. 여기서 분자와 분모를 따로 계산해보자.분자는 $\displaystyle P(Y\cap A)=P(A|Y)P(Y)=0.2\times0.4=0.08$이다.분모의 경우 $\displaystyle A=(A\cap Y)\cup(A\cap Y^c)$이며, $\displaystyle (A\cap Y)\cap(A\cap Y^c)=\varnothing$이므로$\displaystyle P(A)=P[(A\cap Y)\cup(A\cap Y^c)]=P(A\cap Y)+P(A\cap Y^c)$이다. 여기서 $\displaystyle P(A\cap Y)$는 위에서 구한 대로0.08이며 $\displaystyle P(A\cap Y^c)=P(A|Y^c)P(Y^c)=0.7\times0.6=0.42$이다.따라서 $\displaystyle P(Y|A)=\frac{P(Y\cap A)}{P(A)}=\frac{0.08}{0.08+0.42}=0.16$이다.

[문제 2-2](1) $\displaystyle \sqrt{4p^2+3p}-2p=\frac{(\sqrt{4p^2+3p}-2p)(\sqrt{4p^2+3p}+2p)}{\sqrt{4p^2+3p}+2p}=\frac{3p}{\sqrt{4p^2+3p}+2p}=\frac3{\sqrt{4+\frac3p}+2}$이므로$\displaystyle p$가 한없이 커질 때 $\displaystyle \sqrt{4p^2+3p}-2p$의 극한값은 $\displaystyle \frac34$이다. 따라서 이 경우 A의 효용은 $\displaystyle \alpha-\frac34x+y$이 된다.(2) (1)의 결과를 이용하면 A의 효용이 0 이상이 될 조건은 $\displaystyle \alpha-\frac34x+y\ge0$이 된다.그리고 B의 효용이 0 이상이 될 조건은 $\displaystyle \beta+\frac14x-y\ge0$이다. 두 부등식을 종합하면 $\displaystyle -\alpha+\frac34x\le y\le\beta+\frac14x$이 된다.이 조건을 만족시키는 $\displaystyle y$값이 존재하기 위해서는 $\displaystyle -\alpha+\frac34x\le\beta+\frac14x$이 성립되어야 한다. 이를 $\displaystyle x$에 대해 정리하면 $\displaystyle x\le2(\alpha+\beta)$가 된다.문제에서 $\displaystyle x$가 0.5 이상인 해가 존재할 조건을 물었으므로, $\displaystyle 2(\alpha+\beta)\ge0.5$일 때, 즉 $\displaystyle \alpha+\beta\ge\frac14$일 때 문제에서 요구한 대로 $\displaystyle x$가 0.5 이상인 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$의 조합이 존재하게 된다.

[문제 2-3](1) 노동력 확보 정책이 부재하였을 때는 $\displaystyle a=0$일 때이다. 이때, $\displaystyle Q(x)=-x^2+4000$이다. 함수 $\displaystyle Q(x)$와 함수 $\displaystyle P(x)$가 만나는 교점을 찾기 위해 우리는$\displaystyle -x^2+4000=20x+700$로부터 이차방정식 $\displaystyle x^2+20x-3300=0$을 얻는다.방정식의 해는 $\displaystyle x=\frac{-10\pm\sqrt{10^2-1\cdot(-3300)}}1=-10\pm\sqrt{3400}=-10\pm10\sqrt{34}$이다.따라서 고령인구가 생산 가능 인구와 같아지는 시점은 $\displaystyle x=-10+10\sqrt{34}$이다. 주어진 조건에서 $\displaystyle 5.8<\sqrt{34}<5.9$이므로$\displaystyle 48<10\sqrt{34}-10<49$이다. 따라서 고령인구가 생산 가능 인구를 추월하는 시점은 49년 이후이다.Comment. 두 인구가 같아지는 시점은 $\displaystyle 10\sqrt{34}-10$년 후이다. 연 단위로 확인하면 49년 후에 처음 고령인구가 더 많아진다.(2) 노동력 확보 정책이 부재하였을 때는 $\displaystyle a=0$일 때이다. 따라서 $\displaystyle Q_0(x)=-x^2+4000$이다.함수 $\displaystyle Q(x)$와 함수 $\displaystyle Q_0(x)$ 사이의 면적은 $\displaystyle G(x)=\int_0^x[Q(x)-Q_0(x)]\,dx$이다. 따라서 현재부터 향후 50년까지노동력 확보 정책으로 늘어난 생산 가능 인구는$\displaystyle \begin{aligned}G(a)&=\int_0^{50}[Q(x)-Q_0(x)]\,dx=\int_0^{50}\left[\left(\frac13a^3-\frac32a^2+2a-1\right)x^2+4000-(-x^2+4000)\right]\,dx\\&=\int_0^{50}\left[\left(\frac13a^3-\frac32a^2+2a\right)x^2\right]\,dx=\left(\frac13a^3-\frac32a^2+2a\right)\Biggl[\frac13x^3\Biggr]_0^{50}=\frac13\times50^3\cdot\left(\frac13a^3-\frac32a^2+2a\right)\end{aligned}$이다.이때, 구간 $\displaystyle 0\le a\le2$에서 함수 $\displaystyle G(a)$의 최댓값을 구하기 위하여 미분을 구하면$\displaystyle G^{\prime}(a)=\frac13\times50^3\cdot(a^2-3a+2)=\frac13\times50^3\cdot(a-1)(a-2)$이므로함수 $\displaystyle G(a)$는 $\displaystyle a=1,2$에서 극값을 갖는다. 아래의 표에서 볼 수 있는 것처럼 함수 $\displaystyle G(a)$는 $\displaystyle a=1$에서 극댓값을, $\displaystyle a=2$에서 극솟값을 갖는다.$\displaystyle G(1)=\frac13\times50^3\cdot\left(\frac13\times1^3-\frac32\times1^2+2\cdot1\right)=\frac13\times50^3\cdot\left(\frac26-\frac96+\frac{12}6\right)=\frac13\times50^3\cdot\left(\frac56\right)=\frac5{18}\times50^3=\frac{625000}{18}=\frac{312500}9$이고$\displaystyle G(2)=\frac13\times50^3\cdot\left(\frac13\times2^3-\frac32\times2^2+2\cdot2\right)=\frac13\times50^3\cdot\left(\frac83-\frac{18}3+\frac{12}3\right)=\frac13\times50^3\cdot\left(\frac23\right)=\frac29\times50^3=\frac{250000}9$이다.$\displaystyle \begin{array}{c|cccccc}a&0&\cdots&1&\cdots&2&\cdots\\\hline G^{\prime}(a)&&+&0&-&0&+\\\hline G(a)&0&\text{증가}&\frac{312500}9&\text{감소}&\frac{250000}9&\text{증가}\end{array}$이 함수 $\displaystyle G(a)$는 구간 $\displaystyle 0\le a\le2$에서 $\displaystyle a=1$에서 최댓값을 갖는다. 따라서 향후 50년 이후 추가로확보할 수 있는 최대 생산 가능 인구는 노동강도 상수가 1일 때 ($\displaystyle a=1$일 때), $\displaystyle \frac{312500}9$만 명이다.Caution. 단위가 있는 양을 계산할 때는 수치뿐 아니라 단위도 함께 계산해야 한다: $\displaystyle Q(x)$와 $\displaystyle Q_0(x)$의 단위는 만 명이고 $\displaystyle x$의 단위는 년이므로, $\displaystyle \int_0^{50}\{Q(x)-Q_0(x)\}\,dx$의 단위는 만 명·년이다. 따라서 최댓값 $\displaystyle \frac{312500}{9}$도 만 명·년으로 읽어야 한다. 이는 50년 동안 정책으로 추가된 생산 가능 인구를 시간에 따라 누적한 값이며, 서로 다른 사람의 수를 뜻하지 않는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.