자연계열 1번

[문제 1] 정답: 삼각형 ABD의 넓이를 $\displaystyle S(t)=\sqrt3\sin t\sin\left(\frac23\pi-t\right)$이고, 최댓값은 $\displaystyle \frac34\sqrt3$이다.

$\displaystyle \angle\mathrm{BOC}+\angle\mathrm{COD}+\angle\mathrm{DOE}=2(\angle\mathrm{BEC}+\angle\mathrm{CAD}+\angle\mathrm{DBE})$$\displaystyle =2(\angle\mathrm{BAC}+\angle\mathrm{CAD}+\angle\mathrm{DBE})=180^\circ$이므로 점 B,O,E는 일직선 위에 있고선분 BE는 오각형 ABCDE의 외접원의 지름이다.선분 BE가 외접원의 지름이므로 $\displaystyle 0<t<\frac\pi2$이다. 삼각형 ABD의 넓이를 $\displaystyle S(t)$라 하자.$\displaystyle \angle\mathrm{BAE}=\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{ABE}=\frac\pi2-t$이다. $\displaystyle \angle\mathrm{DBE}=\frac\pi6$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{ABD}=\frac23\pi-t$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{BD}}=\sqrt3,\ \overline{\mathrm{AB}}=2\sin t$이므로$\displaystyle S(t)=\sqrt3\sin t\sin\left(\frac23\pi-t\right)$이다.$\displaystyle S^{\prime}(t)=\sqrt3\cos t\sin\left(\frac23\pi-t\right)-\sqrt3\sin t\cos\left(\frac23\pi-t\right)$$\displaystyle =\sqrt3\sin\left(\frac23\pi-2t\right)$$\displaystyle S^{\prime}(t)=0$의 해는 $\displaystyle t=\frac\pi3$이다.$\displaystyle t<\frac\pi3$이면 $\displaystyle S^{\prime}(t)>0$이고 $\displaystyle t>\frac\pi3$이면 $\displaystyle S^{\prime}(t)<0$이므로 $\displaystyle t=\frac\pi3$일 때, $\displaystyle S(t)$가 최댓값을 가진다.삼각형 ABD의 넓이의 최댓값은 $\displaystyle S\left(\frac\pi3\right)=\frac34\sqrt3$이다.