자연계열 5번

[문제 5] 정답: $\displaystyle \frac32$

$\displaystyle 2^k<n\le2^{k+1}$이고 $\displaystyle 1\le p\le n$이면 $\displaystyle n_p=k$ 또는 $\displaystyle n_p=k+1$이고, 특히 $\displaystyle n_1=k+1$이므로 $\displaystyle f(n)=k+1$이다.즉, $\displaystyle f(n)$은 $\displaystyle \log_2n$ 이상의 정수 중 가장 작은 것이다.$\displaystyle n$이 이 범위에 있을 때 문제에 주어진 $\displaystyle n^2$과 $\displaystyle n^3$의 범위는 각각 $\displaystyle 2^{2k}<n^2\le2^{2k+2},\ 2^{3k}<n^3\le2^{3k+3}$이므로$\displaystyle 2k+1\le f(n^2)\le2k+2$이고, $\displaystyle 3k+1\le f(n^3)\le3k+3$이다.$\displaystyle \frac32=\lim_{k\to\infty}\frac{3k+1}{2k+2}\le\lim_{n\to\infty}\frac{f(n^3)}{f(n^2)}\le\lim_{k\to\infty}\frac{3k+3}{2k+1}=\frac32$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(n^3)}{f(n^2)}=\frac32$이다.