자연계열 5번

제시문 3

[가] 수열 $\displaystyle \{a_n\}$에서 $\displaystyle n$의 값이 한없이 커질 때, $\displaystyle a_n$의 값이 일정한 값 $\displaystyle \alpha$에 한없이 가까워지면 수열 $\displaystyle \{a_n\}$은 $\displaystyle \alpha$에 수렴한다고 한다. 이때 $\displaystyle \alpha$를 수열 $\displaystyle \{a_n\}$의 극한값 또는 극한이라 하고, 이것을 기호로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$와 같이 나타낸다.

[나] 두 자연수 $\displaystyle m$과 $\displaystyle n\ (m<n)$에 대하여 부등식 $\displaystyle m\le x\le n$을 만족하는 모든 자연수 $\displaystyle x$들의 집합을 $\displaystyle S(m,n)$이라 하자. 집합 $\displaystyle S(m,n)$의 원소 $\displaystyle p$에 대하여 두 자연수 $\displaystyle m,n$의 평균 $\displaystyle \frac{m+n}2$이하인 가장 큰 자연수를 $\displaystyle l$이라 할 때, 집합 $\displaystyle S(m,n)$을 두 부분집합 $\displaystyle S(m,l)$과 $\displaystyle S(l+1,n)$으로 나눈 후, 이 중 $\displaystyle p$를 포함하는 집합을 택하는 작업을 “$\displaystyle p$ 찾기”라 부르자.자연수 $\displaystyle m$이 주어졌을 때, 1부터 $\displaystyle m$까지 자연수 중 하나의 수 $\displaystyle p$를 정한다. 집합 $\displaystyle S(1,m)$에 $\displaystyle p$ 찾기를 하여 얻은 부분집합에 $\displaystyle p$ 찾기를 다시 적용한다. 이런 작업을 계속하여 부분집합 $\displaystyle \{p\}$를 얻을 때까지 반복한다. 예를 들어 $\displaystyle m=5$일 경우,(1) $\displaystyle p=4$이면 $\displaystyle S(1,5)\supset S(4,5)\supset S(4,4)=\{4\}$이므로 4 찾기를 두 번 적용하면 집합 $\displaystyle \{4\}$를 얻을 수 있고,

(2) $\displaystyle p=2$이면 $\displaystyle S(1,5)\supset S(1,3)\supset S(1,2)\supset S(2,2)=\{2\}$이므로 2 찾기를 세 번 적용하면 집합 $\displaystyle \{2\}$를 얻을 수 있다.

[문제 5] 자연수 $\displaystyle m$에 대하여 1부터 $\displaystyle m$까지 자연수 중 하나의 수 $\displaystyle p$를 골랐을 때, 집합 $\displaystyle \{p\}$를 얻기까지 수행해야하는 $\displaystyle p$ 찾기의 횟수를 $\displaystyle m_p$라 하자. $\displaystyle m_1,\ \cdots,\ m_m$ 중 가장 큰 수를 $\displaystyle f(m)$이라 할 때, 다음 극한값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오. 참고로 $\displaystyle f(5)=3$이다. [30점]$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{f(n^3)}{f(n^2)}$