자연계열 4번

[문제 4] 정답: $\displaystyle \frac{23}{15}$

$\displaystyle f(t)=x$로 치환하고, $\displaystyle t=2f(t)\sqrt{f(t)}+\sqrt{f(t)}$로부터 $\displaystyle f$의 역함수를 $\displaystyle t=g(x)=2x\sqrt x+\sqrt x$라고 하자. 이때 $\displaystyle f(3)=1,f(0)=0$이므로$\displaystyle \int_0^3f(t)dt=\int_0^1f(g(x))g^{\prime}(x)dx=\int_0^1x\left(3\sqrt x+\frac1{2\sqrt x}\right)dx$$\displaystyle =\Biggl[\frac65x^{\frac52}+\frac13x^{\frac32}\Biggr]_0^1=\frac{23}{15}$이다.