인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]건국전자가 정리한 표에서 개별 구직자가 생산하는 GPU 양을 알 수 있다.$\displaystyle \begin{array}{c|r|r|r}\text{채용인원}&\text{GPU 생산량}&\text{개별 구직자의 생산량}&\text{개별 구직자 생산량의 가치}\\\hline1&70&70&10{,}500\text{만원}\\2&135&65&9{,}750\text{만원}\\3&190&55&8{,}250\text{만원}\\4&243&53&7{,}950\text{만원}\\5&291&48&7{,}200\text{만원}\\6&336&45&6{,}750\text{만원}\\7&380&44&6{,}600\text{만원}\end{array}$위의 표에서 보는 것처럼, 개별 구직자의 생산량은 채용인원이 한 명 늘어날 때의 GPU 생산량에서 채용인원이 한 명 적을 때의 GPU 생산량을 빼면 알 수 있다. 또한, GPU의 가격은 150만 원으로 알려져 있으므로, 개별 구직자의 GPU 생산량에 150만 원을 곱하면 개별 구직자가 생산하는 GPU의 총가치를 구할 수 있다. 이것이 표의 마지막 열이 의미하는 것이다. 이때 건국전자는 구직자를 고용했을 때 9천만 원을 지출해야 하므로, 이보다 더 큰 가치를 회사에 가져다 주는 구직자를 채용할 것이다. 표에서 보다시피 갑과 을만이 회사에 벌어다주는 금액이 급여보다 크기 때문에, 건국전자는 결국 두 명을 고용할 것임을 알 수 있다.

[문제 2-2](1) $\displaystyle n$이 홀수이면 $\displaystyle a_n$은 정점 시점이므로 실제 수축 국면은 $\displaystyle [a_n,a_{n+1}]=[a_n,a_n+X]$이고 은행 B에서 예측한 수축 국면은 $\displaystyle [a_n,a_n+d]$이다. 즉, $\displaystyle X\le d$이면 은행 B는 실제 수축 국면을 수축 국면으로 바르게 예측한다. 따라서 구하는 확률은 다음과 같다.Comment. 대학 예시답안은 실제 경기 국면이 바뀌는 시점마다 예측을 새로 시작하고, 다음 실제 전환 시점까지만 예측 오류를 세는 것으로 해석한다.$\displaystyle \mathrm P(X\le d)=\sum_{x=1}^d cp(1-p)^{x-1}=c\{1-(1-p)^d\}$(2) 위 (1)의 풀이에서 $\displaystyle n$이 홀수일 경우 $\displaystyle X>d$이면 $\displaystyle [a_n+d,a_n+X]$ 기간 동안 실제 수축 국면을 확장 국면으로 잘못 예측한다. 따라서 경기를 잘못 예측하는 기간은 $\displaystyle Y=X-d$이다. $\displaystyle n$이 짝수일 경우 $\displaystyle a_n$은 저점 시점이고 실제 확장 국면은 $\displaystyle [a_n,a_n+X]$이며 예측 확장 국면은 $\displaystyle [a_n,a_n+d]$이다. 따라서 $\displaystyle X>d$이면 $\displaystyle [a_n+d,a_n+X]$ 기간 동안 확장 국면을 수축 국면으로 예측하므로 역시 $\displaystyle Y=X-d$이다. 따라서 모든 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle Y$의 확률분포는 다음과 같다.$\displaystyle \mathrm P(Y=0)=\mathrm P(X\le d)=\sum_{x=1}^d cp(1-p)^{x-1}=c\{1-(1-p)^d\}$$\displaystyle \mathrm P(Y=y)=\mathrm P(X=y+d)=cp(1-p)^{y+d-1},\ y=1,2,\ldots,10-d$

[문제 2-3](1) 처분가능함수를 $\displaystyle x$에 대해 미분하면 알 수 있다.$\displaystyle f(x)=-9x^2+90x-125$이므로 $\displaystyle x$에 대하여 미분을 하면,$\displaystyle f^{\prime}(x)=-18x+90=0$이므로 이를 만족하는 $\displaystyle x=5$이다. 물론 이것은 변곡점을 의미하므로 극댓값이 될 수도 있고 극솟값이 될 수도 있다.Correction. 이 점은 변곡점이 아니라 극대점이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.이에 따라 기울기의 값이 $\displaystyle x=5$보다 작을 때와 클 때를 확인해보면, $\displaystyle x=5$보다 작을 때 양의 값을 갖고 $\displaystyle x=5$보다 클 때 음의 값을 갖기 때문에 극댓값이다. 또한 K씨가 일을 할 때만 소득이 생기고, 일을 하지 않을 때는 소득이 0이기 때문에 이 극댓값은 곧 최댓값이 된다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=5$는 에서 최댓값을 갖게 됨을 확인할 수 있다.

(2) 두 함수 $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$를 정해진 범위에 대하여 적분을 하면 된다. K는 60일 때 은퇴하고, 그 이후에는 소득이 없으므로 정적분의 위끝의 수는 6이 된다. 이에 따라 처분가능소득은$\displaystyle \int_2^6(-9x^2+90x-125)\,dx=\Biggl[-3x^3+45x^2-125x\Biggr]_2^6=222-(-94)=316$또한 K는 80세까지 건강하게 살다 생을 마감할 것으로 예상하므로 정적분의 위끝의 수는 8이 된다. 이에 따라 잔존 생애 소비는$\displaystyle \int_2^8(-3x^2+24x+A)\,dx=\Biggl[-x^3+12x^2+Ax\Biggr]_2^8=256+8A-(40+2A)=216+6A$따라서 $\displaystyle 216+6A=316$을 만족해야 하므로 $\displaystyle A=\frac{100}6\approx16.67$이 된다.(3) 이 문제는 소득함수만 풀면 쉽게 해결할 수 있다.$\displaystyle \int_2^7(-9x^2+90x-125)\,dx=\Biggl[-\frac93x^3+\frac{90}2x^2-125x\Biggr]_2^7=301-(-94)=395$은퇴 연령이 7로 상승함에 따라 생애소득이 증가했다. 이제 이 소득을 잔존 생애에 맞추어 연평균 소비를 구하려면 60으로 나누어주면 된다.Caution. 단위가 있는 양을 계산할 때는 수치뿐 아니라 단위도 함께 계산해야 한다: $\displaystyle x$는 10년 단위의 연령이다. $\displaystyle f(x)$를 연간 소득으로 해석한다면, 년 단위의 연령 $\displaystyle t$에 대하여 $\displaystyle t=10x$이므로 $\displaystyle dt=10\,dx$이다. 따라서 전 생애 소득은 정적분 값 $\displaystyle 395$의 10배인 $\displaystyle 3950$천만 원이며, 60년 동안의 연평균 소비는 $\displaystyle \frac{3950}{60}$, 약 $\displaystyle 65.83$천만 원이다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle \frac{395}{60}\approx6.58$