자연계열 1번

[문제 1] 정답: 2160

[풀이] 집합 $\displaystyle A-B$의 원소는 $\displaystyle f(x)=\frac x{2025+x}$ 또는 $\displaystyle g(x)=\frac{2025}{x+2025}$ 꼴의 기약분수이다.(단, $\displaystyle x$는 2025 이하의 자연수).여기서 $\displaystyle f(x)$는 증가함수, $\displaystyle g(x)$는 감소함수이고, 따라서 일대일함수이다.또한, $\displaystyle f(x)\le\frac{2025}{2025+2025}\le g(x)$이다.$\displaystyle \frac x{2025+x}$가 기약분수가 될 필요충분조건은 $\displaystyle x$와 2025가 서로소일 때이다. 또한, $\displaystyle \frac{2025}{x+2025}$가 기약분수가 될 필요충분조건은 $\displaystyle x$와 2025가 서로소일 때이다.2025 이하의 자연수 중 2025와 서로소인 수의 개수를 구하자. $\displaystyle 2025=3^4\times5^2$이므로,2025 이하의 3의 배수의 집합을 $\displaystyle C$, 5의 배수의 집합을 $\displaystyle D$라 할 때,$\displaystyle 2025-(n(C)+n(D)-n(C\cap D))=2025-(675+405-135)=1080.$따라서 $\displaystyle f(x)$ 또는 $\displaystyle g(x)$ 꼴의 기약분수의 개수는 각각 1080개이며, 집합 $\displaystyle A-B$의 원소의 개수는 $\displaystyle 1080\times2=2160$개다.