자연계열 1번

건국대학교가 직접 배포한 보도자료 (2025학년도 모의논술 · 시험 전체 시간 100분)

건국대 2025학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/konkuk/2025mo/jayeon_1

제시문 1

(가) 집합 $\displaystyle A$ 가 유한집합일 때, 집합 $\displaystyle A$ 의 원소의 개수를 기호로 $\displaystyle n(A)$ 와 같이 나타낸다. 일반적으로 두 유한집합 $\displaystyle A,\ B$ 에 대하여 다음이 성립한다. $\displaystyle n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

(나) 두 집합 $\displaystyle A,\ B$ 에 대하여 $\displaystyle A$ 에 속하지만 $\displaystyle B$ 에는 속하지 않는 모든 원소로 이루어진 집합을 $\displaystyle A$ 에 대한 $\displaystyle B$ 의 차집합이라 하며, 이것을 기호로 $\displaystyle A-B$ 와 같이 나타낸다.

(다) 집합 $\displaystyle A$ 와 $\displaystyle B$ 가 다음과 같다. $\displaystyle A=\{x\mid x=\frac b{a+b},\ a$ 와 $\displaystyle b$ 는 2025 이하의 자연수 $\displaystyle \}$ $\displaystyle B=\{x\mid x=\frac b{a+b},\ a$ 와 $\displaystyle b$ 는 2025 이하의 자연수 $\displaystyle \}$ Correction. 집합 $\displaystyle B$ 의 조건에서 “2025 이하”는 “2024 이하”의 오기이다. 원문 그대로라면 $\displaystyle A=B$ 이므로 $\displaystyle n(A-B)=0$ 이며, 대학 예시답안의 2160은 이 숫자를 바로잡았을 때의 값이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 1] (다)에서 $\displaystyle n(A-B)$ 의 값을 구하고 풀이 과정을 쓰시오.

해설강의 준비중

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[문제 1] 정답: 2160

[풀이] 집합 $\displaystyle A-B$ 의 원소는 $\displaystyle f(x)=\frac x{2025+x}$ 또는 $\displaystyle g(x)=\frac{2025}{x+2025}$ 꼴의 기약분수이다.(단, $\displaystyle x$ 는 2025 이하의 자연수).여기서 $\displaystyle f(x)$ 는 증가함수, $\displaystyle g(x)$ 는 감소함수이고, 따라서 일대일함수이다.또한, $\displaystyle f(x)\le\frac{2025}{2025+2025}\le g(x)$ 이다. $\displaystyle \frac x{2025+x}$ 가 기약분수가 될 필요충분조건은 $\displaystyle x$ 와 2025가 서로소일 때이다. 또한, $\displaystyle \frac{2025}{x+2025}$ 가 기약분수가 될 필요충분조건은 $\displaystyle x$ 와 2025가 서로소일 때이다.2025 이하의 자연수 중 2025와 서로소인 수의 개수를 구하자. $\displaystyle 2025=3^4\times5^2$ 이므로,2025 이하의 3의 배수의 집합을 $\displaystyle C$ , 5의 배수의 집합을 $\displaystyle D$ 라 할 때, $\displaystyle 2025-(n(C)+n(D)-n(C\cap D))=2025-(675+405-135)=1080.$ 따라서 $\displaystyle f(x)$ 또는 $\displaystyle g(x)$ 꼴의 기약분수의 개수는 각각 1080개이며, 집합 $\displaystyle A-B$ 의 원소의 개수는 $\displaystyle 1080\times2=2160$ 개다.

문항	채점 기준	배점
1	A+: 정답과 풀이가 맞음. A: 풀이가 모두 맞았으나 사소한 계산 실수가 있음. B+: 채점 기준 C를 구하고, 2025 이하의 자연수 중 2025와 서로소인 수의 개수를 맞게 구함. B: 채점 기준 C를 구하고, 2025 이하의 자연수 중 2025와 서로소인 수의 개수를 구하였으나 틀림. C: $\displaystyle \frac x{2025+x}$ 와 $\displaystyle \frac{2025}{x+2025}$ 가 기약분수가 될 필요충분조건이 $\displaystyle x$ 와 2025가 서로소일 때임을 구함. D: 집합 $\displaystyle A-B$ 의 원소가 $\displaystyle f(x)=\frac x{2025+x}$ 또는 $\displaystyle g(x)=\frac{2025}{x+2025}$ 꼴의 기약분수임을 구함. E: 풀이와 관계있는 의미 있는 시도를 함. F: 답안이 공란이거나 문제와 관련 없는 내용을 적음.	15점

※ 평가 등급 기준 및 배점은 실제 논술고사에서 일부 변경될 수 있음

첨삭 사례

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