자연계열 4번

[문제 4] 정답: (1) $\displaystyle 2\pi$, (2) $\displaystyle 2\sqrt2\pi$

[풀이] (1) 점 P를 지나고 직선 OA에 평행한 직선을 $\displaystyle l$이라 하자. 원점 O에서 직선 $\displaystyle l$에 내린 수선의 발을 H라 하자. 삼각형 AOP의 넓이는 직각삼각형 AOH의 넓이와 같다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=\sqrt2$이므로 삼각형 AOH의 넓이가 1보다 작거나 같기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle \overline{\mathrm{OH}}\le\sqrt2$이다. ─── (*)

좌표가 $\displaystyle (0,-1,-1),(0,-2,0),(0,0,2)$인 점을 각각 B, C, D라 하자.왼쪽 그림과 같이 직사각형 ABCD를 선분 AB 주위로 회전하여 얻어지는 원기둥을 생각하자. 이 원기둥의 윗면의 반지름은 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}=\sqrt2$이다.(*)에 의해 도형 $\displaystyle F$는 이 원기둥을 $\displaystyle xy$ 평면으로 잘라 얻어지는 단면이다. 또한, 원기둥의 윗면을 포함하는 평면이 $\displaystyle \alpha$이다. 따라서 도형 $\displaystyle F$의 평면 $\displaystyle \alpha$ 위로의 정사영은 이 원기둥의 윗면이고, 그 넓이는 $\displaystyle \pi\times(\sqrt2)^2=2\pi$이다.

(2) 도형 $\displaystyle F$와 원기둥의 윗면은 각각 $\displaystyle xy$ 평면과 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있고, $\displaystyle xy$ 평면과 평면 $\displaystyle \alpha$가 이루는 이면각의 크기는 직선 OA와 $\displaystyle z$축이 이루는 예각의 크기와 같다. 이 각의 크기는 $\displaystyle \frac\pi4$이다.따라서 도형 $\displaystyle F$의 넓이는(원기둥의 윗면의 넓이)$\displaystyle \times\frac1{\cos\frac\pi4}=2\pi\times\frac1{\frac{\sqrt2}2}=2\sqrt2\pi.$