자연계열 2번

[문제 2] 정답: $\displaystyle 4+2\sqrt3$

[풀이] 점 $\displaystyle \mathrm D(0,3)$이라 하자. 직각 삼각형 AOB와 직각삼각형 ACD에서$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}\cos\theta=1,\ \overline{\mathrm{AC}}\cos\left(\pi-(\theta+\frac\pi6)\right)=2$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\frac1{\cos\theta},\ \overline{\mathrm{AC}}=-\frac2{\cos(\theta+\frac\pi6)}$이다.삼각형 ABC의 넓이를 $\displaystyle S(\theta)$라 하면 $\displaystyle S(\theta)=\frac12\times\overline{\mathrm{AB}}\times\overline{\mathrm{AC}}\times\sin\frac\pi6$이다. 따라서$\displaystyle S(\theta)=\frac{-1}{2\cos\theta\cos(\theta+\frac\pi6)}.$$\displaystyle \cos\left(\theta+(\theta+\frac\pi6)\right)=\cos\theta\cos(\theta+\frac\pi6)-\sin\theta\sin(\theta+\frac\pi6)$이고,$\displaystyle \cos\left(\theta-(\theta+\frac\pi6)\right)=\cos\theta\cos(\theta+\frac\pi6)+\sin\theta\sin(\theta+\frac\pi6)$이므로,$\displaystyle 2\cos\theta\cos(\theta+\frac\pi6)=\cos\left(\theta+(\theta+\frac\pi6)\right)+\cos\left(\theta-(\theta+\frac\pi6)\right)=\cos(2\theta+\frac\pi6)+\frac{\sqrt3}2$이다.따라서, $\displaystyle S(\theta)=\frac{-1}{\cos(2\theta+\frac\pi6)+\frac{\sqrt3}2}$이다.$\displaystyle \frac\pi3<\theta<\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \frac{5\pi}6<2\theta+\frac\pi6<\frac{7\pi}6$이다. 따라서 $\displaystyle -1+\frac{\sqrt3}2\le\cos(2\theta+\frac\pi6)+\frac{\sqrt3}2<0$이고, $\displaystyle 2\theta+\frac\pi6=\pi$일 때, $\displaystyle S(\theta)$는 최솟값 $\displaystyle 4+2\sqrt3$을 갖는다.