자연계열 3번

[문제 3] 정답: $\displaystyle -\frac25$

[풀이] 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=t(x-1)$이다.점 A와 직선 $\displaystyle l$ 사이의 거리는 $\displaystyle \frac{|t\times0-3-t|}{\sqrt{t^2+1}}=\frac{t+3}{\sqrt{t^2+1}}$이다.점 A에서 직선 $\displaystyle l$에 내린 수선의 발을 R이라 하자.

삼각형 ARP는 직각삼각형이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=2$이므로 점 A와 직선 $\displaystyle l$ 사이의 거리는 $\displaystyle 2\sin\theta$이다.따라서 $\displaystyle 2\sin\theta=\frac{t+3}{\sqrt{t^2+1}}$이다.양변을 $\displaystyle t$에 대해 미분하면,$\displaystyle 2\cos\theta\times\frac{d\theta}{dt}=\frac1{t^2+1}\left(1\times\sqrt{t^2+1}-(t+3)\times\frac{2t}{2\sqrt{t^2+1}}\right)=\frac{-3t+1}{(t^2+1)\sqrt{t^2+1}}$이다.$\displaystyle t=3$일 때, $\displaystyle \sin\theta=\frac{3+3}{2\sqrt{3^2+1}}=\frac3{\sqrt{10}}$이고, 이 때 $\displaystyle \cos\theta=\frac1{\sqrt{10}}$이다.따라서, $\displaystyle f^{\prime}(3)=\frac1{2\times\frac1{\sqrt{10}}}\times\left(\frac{(-3)\times3+1}{(3^2+1)\times\sqrt{3^2+1}}\right)=-\frac25$이다.