KU자유전공학부 2번

[문제 2-1] 정답: 2160

[풀이] 집합 $\displaystyle A-B$의 원소는 $\displaystyle f(x)=\frac x{2025+x}$ 또는 $\displaystyle g(x)=\frac{2025}{x+2025}$ 꼴의 기약분수이다.(단, $\displaystyle x$는 2025 이하의 자연수).여기서 $\displaystyle f(x)$는 증가함수, $\displaystyle g(x)$는 감소함수이고, 따라서 일대일함수이다.또한, $\displaystyle f(x)\le\frac{2025}{2025+2025}\le g(x)$이다.$\displaystyle \frac x{2025+x}$가 기약분수가 될 필요충분조건은 $\displaystyle x$와 2025가 서로소일 때이다. 또한, $\displaystyle \frac{2025}{x+2025}$가 기약분수가 될 필요충분조건은 $\displaystyle x$와 2025가 서로소일 때이다.2025 이하의 자연수 중 2025와 서로소인 수의 개수를 구하자. $\displaystyle 2025=3^4\times5^2$이므로,2025 이하의 3의 배수의 집합을 $\displaystyle C$, 5의 배수의 집합을 $\displaystyle D$라 할 때,$\displaystyle 2025-(n(C)+n(D)-n(C\cap D))=2025-(675+405-135)=1080.$따라서 $\displaystyle f(x)$ 또는 $\displaystyle g(x)$ 꼴의 기약분수의 개수는 각각 1080개이며, 집합 $\displaystyle A-B$의 원소의 개수는 $\displaystyle 1080\times2=2160$개다.

[문제 2-2] 정답: $\displaystyle \frac{2\sqrt5}5$

[풀이] 좌표평면에 변 AB의 수직이등분선이 $\displaystyle y$축, 변 BC의 수직이등분선이 직선 $\displaystyle y=x$가 되도록 놓자. 점 A의 좌표를 $\displaystyle (a,b)\ (a>0,b>0)$이라 하면 점 B의 좌표는 $\displaystyle (-a,b)$, 점 C의 좌표는 $\displaystyle (b,-a)$가 된다. 점 D가 변 AC를 1:3으로 내분하므로 점 D의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{b+3a}4,\frac{-a+3b}4\right)$이다. 점 D가 직선 $\displaystyle y=x$ 위에 있으므로 $\displaystyle b+3a=-a+3b$가 성립한다. 이를 정리하면 $\displaystyle b=2a$이다. 따라서$\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=2a,\quad\overline{\mathrm{BC}}=\sqrt{(-a-b)^2+(b+a)^2}=\sqrt2(a+b)=3\sqrt2a,$$\displaystyle \overline{\mathrm{AC}}=\sqrt{(a-b)^2+(b+a)^2}=\sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{10}a$이다.변 AC의 수직이등분선과 변 BC의 수직이등분선이 이루는 예각의 크기가 $\displaystyle \theta$이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{ACB}$의 크기 또한 $\displaystyle \theta$이다.따라서 코사인 법칙을 이용하면$\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{\mathrm{AC}}^2+\overline{\mathrm{BC}}^2-\overline{\mathrm{AB}}^2}{2\overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{BC}}}=\frac{10a^2+18a^2-4a^2}{2\times(\sqrt{10}a)\times(3\sqrt2a)}=\frac{2\sqrt5}5$이다.

[문제 2-3] 정답: $\displaystyle \cos\alpha=\frac45$

[풀이] 삼각형 ABC는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}=\overline{\mathrm{BC}}$인 이등변삼각형이므로 $\displaystyle \angle\mathrm{ABP}=\angle\mathrm{PBC}$이고 직선 BP는 변 AC의 수직이등분선이다.직선 BP를 $\displaystyle l$이라 하자. 점 P의 좌표를 $\displaystyle (a,b)$라 하자. 점 P에서 직선 $\displaystyle l_1$과 직선 $\displaystyle l_2$까지의 거리는 같다. 따라서,$\displaystyle \frac{|3a-b+1|}{\sqrt{10}}=\frac{|a-3b+3|}{\sqrt{10}}$이 식을 풀어 $\displaystyle b=-a+1,\ b=a+1$을 얻는다. 또한 점 P는 $\displaystyle \angle\mathrm{ABC}$의 이등분선 위에 있으므로 $\displaystyle b=a+1$이고, 따라서 직선 $\displaystyle l$의 방정식은 $\displaystyle y=x+1$이다.직선 $\displaystyle l$의 기울기가 1이고 직선 $\displaystyle l$과 $\displaystyle l_3$는 수직이므로 직선 $\displaystyle l_3$의 기울기는 $\displaystyle -1$이다. 따라서 $\displaystyle \sin\theta=\cos\theta$이고, $\displaystyle 0<\theta<\frac\pi2$이므로 $\displaystyle \theta=\frac\pi4$이다. 이때 $\displaystyle l_3$의 방정식 $\displaystyle x+y-5=0$을 얻는다.직선 $\displaystyle l_3$와 직선 $\displaystyle l$의 교점을 Q라 하자. 삼각형 APQ가 $\displaystyle \angle\mathrm{AQP}$가 직각인 직각삼각형이므로 $\displaystyle \cos\alpha=\frac{\overline{\mathrm{AQ}}}{\overline{\mathrm{AP}}}$이다.$\displaystyle 3x-y+1=0$과 $\displaystyle x+y-5=0$을 연립하여 풀어 점 $\displaystyle \mathrm A(1,4)$를 얻는다. $\displaystyle y=x+1$과 $\displaystyle x+y-5=0$을 연립하여 풀어 점 $\displaystyle \mathrm Q(2,3)$을 얻는다.$\displaystyle \mathrm P(a,a+1)$은 삼각형 ABC의 외심이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\overline{\mathrm{BP}}$이다. 점 B의 좌표는 $\displaystyle (0,1)$이다. 따라서$\displaystyle \sqrt{(a-1)^2+(a+1-4)^2}=\sqrt{a^2+(a+1-1)^2}$이고, $\displaystyle a=\frac54$이다. 따라서 점 P의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac54,\frac94\right)$이다.따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}=\sqrt{\left(\frac14\right)^2+\left(-\frac74\right)^2}=\frac{5\sqrt2}4,\quad\overline{\mathrm{AQ}}=\sqrt{(-1)^2+1^2}=\sqrt2$이고,$\displaystyle \cos\alpha=\frac{\sqrt2}{\frac{5\sqrt2}4}=\frac45$이다.