인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1](1) 건우의 연봉 2천만 원을 치즈 가격으로 나누어 주면, 건우는 치즈 $\displaystyle \frac{2\text{천만원}}{5\text{천원}}=4,000kg$을 구매할 수 있다. 건우의 실질 연봉인 $\displaystyle 4,000kg$의 치즈에 2025년 치즈 가격을 곱하면 2025년 원화가치로 환산한 건우의 연봉을 구할 수 있다. 이에 따라 건우의 연봉은 $\displaystyle 4,000\times8\text{천원}=3\text{천}2\text{백만원}$이 나온다.(2) 건호의 연봉 10만파운드를 치즈 가격으로 나누어 주면, 치즈 $\displaystyle \frac{10\text{만파운드}}{10\text{파운드}}=10,000kg$을 구매할 수 있다. $\displaystyle 10,000kg$의 치즈에 1995년 치즈 가격을 곱하면 $\displaystyle 10,000\times4\text{파운드}=4\text{만파운드}$가 나온다. 여기에 환율을 이용하면 $\displaystyle 4\text{만파운드}\times1,200=4\text{천}8\text{백만원}$이다. 따라서 건호의 연봉은 건우의 연봉보다 $\displaystyle \frac{4\text{천}8\text{백만원}}{2\text{천만원}}=2.4$배 더 크다.Caution. 몇 배가 되었는지와 몇 % 증가했는지를 구별해야 한다: 건호의 환산 연봉은 건우의 연봉의 $\displaystyle 2.4$배이므로 $\displaystyle 140\%$ 더 많다. $\displaystyle 2.4$배는 기준값의 $\displaystyle 240\%$라는 뜻이며, $\displaystyle 240\%$ 증가했다는 뜻이 아니다. 따라서 원문의 “2.4배 더 크다”는 “2.4배이다” 또는 “140% 더 많다”로 표현해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

[문제 2-2](1) 이차함수 $\displaystyle P(Q)=Q^2+2Q$와 일차함수 $\displaystyle P(Q)=10-Q$와의 교점을 구하면 $\displaystyle Q=2,\ P=8$이므로 균형 거래량은 2, 균형 가격은 8이다.

(2) (1)에서 구한 그래프를 이용하여소비자 잉여를 구하면 $\displaystyle \int_0^2(10-Q)\,dQ-16=\Biggl[10Q-\frac12Q^2\Biggr]_0^2-16=18-16=2$이고생산자 잉여를 구하면 $\displaystyle 16-\int_0^2(Q^2+2Q)\,dQ=16-\Biggl[\frac13Q^3+Q^2\Biggr]_0^2=16-\frac{20}3=\frac{28}3$이다.

[문제 2-3](1) 시점 $\displaystyle a_4$에서 금융상품 $\displaystyle A$의 가격이 400만원이 되기 위해서는 가격의 하락이 1번, 가격의 상승이 3번이 되어야 하므로독립시행의 확률에 의해 확률을 구하면 $\displaystyle {}_{4}\mathrm C_3\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)={} _{4}\mathrm C_1\left(\frac12\right)\left(\frac12\right)^3=\frac14$이다.Comment. 대학 예시답안은 각 시점의 가격 상승과 하락이 서로 독립이라고 가정하여 계산한다.(2) 시점 $\displaystyle a_4$에서 금융상품 $\displaystyle A$의 가격을 확률변수 $\displaystyle X$(만원)이라 하고 확률을 구하면$\displaystyle P\left(X=\frac{25}4\right)={} _4\mathrm C_0\left(\frac12\right)^0\left(\frac12\right)^4=\frac1{16}$$\displaystyle P(X=25)={} _4\mathrm C_1\left(\frac12\right)^1\left(\frac12\right)^3=\frac14$$\displaystyle P(X=100)={} _4\mathrm C_2\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)^2=\frac38$$\displaystyle P(X=400)={} _4\mathrm C_3\left(\frac12\right)^3\left(\frac12\right)^1=\frac14$$\displaystyle P(X=1600)={} _4\mathrm C_4\left(\frac12\right)^4\left(\frac12\right)^0=\frac1{16}$이고, 확률 분포표를 구하면$\displaystyle \begin{array}{c|ccccc|c}X&\frac{25}4&25&100&400&1600&\text{계}\\\hline P&\frac1{16}&\frac14&\frac38&\frac14&\frac1{16}&1\end{array}$이다.거래 차익을 확률변수 $\displaystyle Y$(만원)이라고 하면 $\displaystyle Y=X-100$이므로거래 차익의 기댓값 $\displaystyle E(Y)=E(X-100)=E(X)-100$이다.따라서 위의 표를 이용하여 $\displaystyle E(X)$를 구하면$\displaystyle E(X)=\frac1{16}\left(\frac{25}4+100+600+1600+1600\right)=\frac{15620}{64}\approx244$Correction. $\displaystyle E(X)$는 $\displaystyle \frac{15620}{64}$가 아니라 $\displaystyle \frac{15625}{64}$이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.그러므로 구하는 값은 144(만원)이다.

(3) 시점 $\displaystyle a_2$에서 금융상품 $\displaystyle B$의 가격을 확률변수 $\displaystyle X$(만원), 가격 상승의 확률을 $\displaystyle p$라하고 확률을 구하면$\displaystyle P(X=25)={} _2\mathrm C_0p^0(1-p)^2$$\displaystyle P(X=100)={} _2\mathrm C_1p^1(1-p)$$\displaystyle P(X=400)={} _2\mathrm C_2p^2(1-p)^0$이고 확률 분포표를 구하면$\displaystyle \begin{array}{c|ccc|c}X&25&100&400&\text{계}\\\hline P&{} _2\mathrm C_0p^0(1-p)^2&{} _2\mathrm C_1p^1(1-p)&{} _2\mathrm C_2p^2(1-p)^0&1\end{array}$이다.거래 차익을 확률변수 $\displaystyle Y$(만원)이라고 하면 $\displaystyle Y=X-100$이므로거래 차익의 기댓값 $\displaystyle E(Y)=E(X-100)=E(X)-100$이고이때, 조건에 의해 $\displaystyle E(X)-100=0$에서 $\displaystyle E(X)=100$이다.따라서 위의 표를 이용하여 $\displaystyle E(X)$를 구하면$\displaystyle E(X)=25(1-p)^2+200p(1-p)+400p^2=100$에서$\displaystyle 3p^2+2p-1=(3p-1)(p+1)=0$이다.그러므로 구하는 확률은 $\displaystyle \frac13$이다.