자연계열 2번

[문제 2] (답) $\displaystyle \frac{\sqrt{15}}5$

(풀이) 삼각형 PDE의 넓이는 삼각형 PDB의 넓이의 $\displaystyle \frac13$이므로 사면체 DEPQ의 부피는 사면체 BDPQ의 부피의 $\displaystyle \frac13$이다.따라서 사면체 DEPQ의 부피가 최대이기 위해서는 사면체 BDPQ의 부피가 최대이어야 한다.

점 D에서 평면 ABC에 내린 수선의 발을 H라 하자.점 H는 삼각형 ABC의 무게중심이다.사면체 BDPQ의 부피는 $\displaystyle \frac13\times$(삼각형 BPQ의 넓이)$\displaystyle \times\overline{DH}$이므로 삼각형 BPQ의 넓이가 최대이어야 한다.이때는 선분 PQ와 선분 AB가 수직일 때이다.

선분 PQ와 선분 AB가 수직이라고 하자. 점 E에서 평면 ABC에 내린 수선의 발을 F, 점 F에서 직선 PQ에 내린 수선의 발을 G라 하면, 삼수선의 정리에 의해 직선 EG와 직선 PQ는 수직으로 만난다.직각삼각형 EFG에서 $\displaystyle \theta$는 각 EGF의 크기와 같으므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{FG}}{\overline{EG}}$이다.$\displaystyle \overline{FG}$를 구하자. 점 F에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 $\displaystyle F^{\prime}$이라 하면 $\displaystyle \overline{FG}=\overline{AF^{\prime}}=\overline{AB}-\overline{BF^{\prime}}=6-3\times\frac23=4$이다.$\displaystyle \overline{DH}$와 $\displaystyle \overline{EF}$를 구하자. 삼각형 AHD는 직각삼각형이고 $\displaystyle \overline{AD}=6$이다. 선분 BC의 중점을 M이라고 하면 선분 AM은 점 H를 지나고 $\displaystyle \overline{AH}=\frac23\times\overline{AM}=\frac23\times3\sqrt3=2\sqrt3$이다.따라서 $\displaystyle \overline{DH}=\sqrt{\overline{AD}^2-\overline{AH}^2}=\sqrt{36-12}=\sqrt{24}=2\sqrt6$이고,$\displaystyle \overline{EF}=\frac23\times\overline{DH}=\frac23\times2\sqrt6=\frac{4\sqrt6}3$이다.$\displaystyle \overline{EG}$를 구하자, 직각삼각형 EFG에서 $\displaystyle \overline{EG}=\sqrt{\overline{EF}^2+\overline{FG}^2}=\sqrt{\frac{32}3+16}=\sqrt{\frac{80}3}=\frac{4\sqrt{15}}3$.따라서 $\displaystyle \cos\theta=\frac{\overline{FG}}{\overline{EG}}=\frac4{\frac{4\sqrt{15}}3}=\frac3{\sqrt{15}}=\frac{3\sqrt{15}}{15}=\frac{\sqrt{15}}5$이다.