자연계열 1번

[문제 1] (답) $\displaystyle \frac\pi3<t<\frac{5\pi}3$

(풀이) 문제의 조건을 만족시키기 위해서는 각 OAB가 예각이 되어야 하므로$\displaystyle \overline{AB}^2+3^2>\overline{OB}^2$에 해당한다. 이 식에 좌표를 대입하여 쓰면$\displaystyle \{3\cos t-(7+\cos3t)\}^2+(3\sin t-\sin3t)^2+9>(7+\cos3t)^2+(\sin3t)^2$이 식을 정리하면, $\displaystyle 7\cos t+\cos t\cos3t+\sin t\sin3t<3$이고, 이 부등식의 좌변은 코사인함수의 덧셈정리에 의하여 $\displaystyle 7\cos t+\cos2t$와 같으며,$\displaystyle \cos2t=\cos(t+t)=\cos^2t-\sin^2t=2\cos^2t-1$이므로 $\displaystyle 7\cos t+\cos2t=2\cos^2t+7\cos t-1$이다.부등식 $\displaystyle 2\cos^2t+7\cos t-1<3$으로부터 $\displaystyle (2\cos t-1)(\cos t+4)<0$을 얻는다.따라서 $\displaystyle \cos t<\frac12$이고, $\displaystyle t$의 범위는 $\displaystyle \frac\pi3<t<\frac{5\pi}3$이다.