자연계열 3번

[문제 3] (답) $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt{21}}7$Correction. 이 값은 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)$가 아니라 $\displaystyle f^{\prime}(\frac\pi2)$의 값이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

(풀이)

$\displaystyle \angle ABC$를 $\displaystyle \phi$라고 하자. 그림의 직각삼각형 CDH에서 $\displaystyle \overline{DH}=|\sqrt3-\cos\theta-2\cos\phi|,\ \overline{CH}=|2\sin\phi-\sin\theta|$이므로(1) $\displaystyle 4=(\sqrt3-\cos\theta-2\cos\phi)^2+(2\sin\phi-\sin\theta)^2$$\displaystyle \phi$를 $\displaystyle \theta$의 함수로 보고 $\displaystyle \theta$에 대해 미분하면(2) $\displaystyle 0=(\sqrt3-\cos\theta-2\cos\phi)(\sin\theta+2\phi^{\prime}\sin\phi)+(2\sin\phi-\sin\theta)(2\phi^{\prime}\cos\phi-\cos\theta)$$\displaystyle \theta=\frac\pi2$이면 $\displaystyle \phi=\frac\pi2,\ f(\theta)=\sqrt7$이고 식 (2)는 $\displaystyle 0=\sqrt3\left(1+2\phi^{\prime}\left(\frac\pi2\right)\right)$이 된다.따라서, $\displaystyle \phi^{\prime}\left(\frac\pi2\right)=-\frac12$.코사인법칙에 따라 $\displaystyle f(\theta)^2=4+3-4\sqrt3\cos\phi$.이 식을 $\displaystyle \theta$에 대해 미분하면 $\displaystyle 2f(\theta)f^{\prime}(\theta)=4\sqrt3\phi^{\prime}(\theta)\sin\phi$.$\displaystyle \theta=\frac\pi2$일때 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=-\frac{\sqrt3}{\sqrt7}=-\frac{\sqrt{21}}7$.