자연계열 4번

[문제 4] (답) (1) $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=\frac{(10-t^2)^2+t^2}2$　(2) $\displaystyle a^2+b^2=19,\ ab=9,\ g(\theta)=\frac{29}3$

(풀이)(1) A에서 $\displaystyle x$축에 내린 수선의 발을 Q라 하면 사다리꼴 OPAQ의 넓이 $\displaystyle \frac t2(10+t^2)$에서 $\displaystyle x$축과 곡선 사이의 넓이를 뺀 값이 $\displaystyle f(\theta)$이다. 따라서$\displaystyle f(\theta)=\frac t2(10+t^2)-\int_0^tx^2dx=\frac16t^3+5t$.A에서 $\displaystyle y$축에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼각형 APH에서 $\displaystyle \tan\theta=\frac t{10-t^2}$이다.Caution. 나누거나 약분할 때는 그 식이 $\displaystyle 0$이 아닌지 확인해야 한다: $\displaystyle \theta=\frac\pi2$이면 $\displaystyle t=\sqrt{10}$이므로 $\displaystyle \tan\theta=\frac{t}{10-t^2}$와 이를 미분한 식을 쓸 수 없다. $\displaystyle t>0$이므로 대신 $\displaystyle \cot\theta=\frac{10-t^2}{t}$를 미분하면 이 경우까지 포함한 같은 도함수 식을 얻는다. 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.$\displaystyle t$가 $\displaystyle \theta$의 함수이므로, 양변을 $\displaystyle \theta$에 대하여 미분하면 $\displaystyle \sec^2\theta=\frac{10+t^2}{(10-t^2)^2}\frac{dt}{d\theta}$이다.$\displaystyle \sec^2\theta=1+\tan^2\theta=1+\left(\frac t{10-t^2}\right)^2=\frac{(10-t^2)^2+t^2}{(10-t^2)^2}$이므로$\displaystyle \frac{dt}{d\theta}=\frac{(10-t^2)^2+t^2}{10+t^2},\quad f^{\prime}(\theta)=\left(\frac12t^2+5\right)\frac{dt}{d\theta}=\frac{(10-t^2)^2+t^2}2$.

(2) $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=\frac{(10-a^2)^2+a^2}2$이고 같은 방법으로 $\displaystyle f^{\prime}\left(\theta+\frac\pi2\right)=\frac{(10-b^2)^2+b^2}2$이다.$\displaystyle g^{\prime}(\theta)=0$일 때 $\displaystyle f^{\prime}(\theta)=f^{\prime}\left(\theta+\frac\pi2\right)$이므로 다음이 성립한다.(*) $\displaystyle \frac{(10-b^2)^2+b^2}2=\frac{(10-a^2)^2+a^2}2$따라서$\displaystyle \{a^2+(a^2-10)^2\}-\{b^2+(b^2-10)^2\}=a^2-b^2+(a^2-10)^2-(b^2-10)^2$$\displaystyle =(a^2-b^2)+(a^2-b^2)(a^2+b^2-20)=(a^2-b^2)(a^2+b^2-19)=0$$\displaystyle a^2\ne b^2$이어야 하므로 $\displaystyle a^2+b^2=19$를 얻는다.또한 $\displaystyle \overline{AP}$와 $\displaystyle \overline{BP}$가 수직이므로$\displaystyle (\ast\ast)$ $\displaystyle \frac{a^2-10}a\cdot\frac{b^2-10}b=-1$이고 $\displaystyle (a^2-10)(b^2-10)+ab=0$.$\displaystyle (a^2-10)(b^2-10)+ab=a^2b^2-10(a^2+b^2)+100+ab$$\displaystyle =(ab)^2-10\cdot19+100+ab=(ab)^2+ab-90=(ab-9)(ab+10)$이로부터 $\displaystyle ab=9$를 얻는다. $\displaystyle a^2+b^2=19$와 $\displaystyle ab=9$를 연립하여 풀면 $\displaystyle a+b=\sqrt{37}$이고,$\displaystyle a=\frac{\sqrt{37}-1}2,\quad b=\frac{\sqrt{37}+1}2$.이때 $\displaystyle b-a=1$이고 $\displaystyle b^3-a^3=(b-a)(b^2+ba+a^2)=19+9=28$이다.이때 $\displaystyle g(\theta)$의 값은$\displaystyle g(\theta)=\left(\frac16b^3+5b\right)-\left(\frac16a^3+5a\right)=\frac16(b^3-a^3)+5(b-a)=\frac{28}6+5=\frac{29}3$.