KU자유전공학부 2번

[문제 2-1] 답) $\displaystyle \frac12$

풀이)$\displaystyle \mathrm A(a,a^3+a+3)$이라 하자.1) $\displaystyle a=0$일 때점 A의 좌표는 $\displaystyle (0,3)$이고 선분 AB는 O를 지나므로 점 B의 좌표는 $\displaystyle (0,-2)$이다.따라서 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{OA}}}{\overline{\mathrm{OB}}}=\frac32$이다.2) $\displaystyle a\ne0$일 때직선 OA의 방정식은 $\displaystyle y=\frac{a^3+a+3}{a}x$이다.$\displaystyle \frac{a^3+a+3}{a}x=4x-2$에서 $\displaystyle x=\frac{2a}{4a-(a^3+a+3)}$이고,점 B의 좌표는 $\displaystyle \left(\frac{2a}{4a-(a^3+a+3)},\frac{2(a^3+a+3)}{4a-(a^3+a+3)}\right)$이다.$\displaystyle \overline{\mathrm{OA}}=\sqrt{a^2+(a^3+a+3)^2}$이고,$\displaystyle \overline{\mathrm{OB}}=\sqrt{\frac{4(a^2+(a^3+a+3)^2)}{(4a-(a^3+a+3))^2}}=\frac{2\sqrt{a^2+(a^3+a+3)^2}}{|a^3-3a+3|}$이다.따라서 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{OA}}}{\overline{\mathrm{OB}}}=\frac{|a^3-3a+3|}{2}$이다.$\displaystyle f(x)=x^3-3x+3\ (x\ge0)$이라 하자.$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$이다. $\displaystyle f^{\prime}(1)=0$이고 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 $\displaystyle x=1$의 좌우에서 부호가 음에서 양으로 바뀐다. 따라서 $\displaystyle x\ge0$일 때 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$의 좌우에서 감소하다가 증가한다. 그러므로 $\displaystyle x\ge0$일 때 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle f(1)=1$이고 $\displaystyle f(x)\ge0$이다. 따라서 $\displaystyle x\ge0$일 때 $\displaystyle |f(x)|$의 최솟값은 $\displaystyle f(1)=1$이다.$\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{OA}}}{\overline{\mathrm{OB}}}$의 최솟값은 $\displaystyle \frac{f(1)}2=\frac12$이다.1)과 2)에서 $\displaystyle \frac{\overline{\mathrm{OA}}}{\overline{\mathrm{OB}}}$의 최솟값은 $\displaystyle \frac12$이다.

[문제 2-2] 답) 32

풀이)4개의 수의 합이 최소일 때는 $\displaystyle 1+2+3+4=10$이고 최대일 때는 $\displaystyle 6+7+8+9=30$이다.따라서 4개의 수의 합으로서 가능한 4의 배수는 12, 16, 20, 24, 28이다.4개의 수를 $\displaystyle a,b,c,d$라 하자. 순서에 상관없고 서로 다른 수이므로 $\displaystyle a<b<c<d$로 생각할 수 있다.$\displaystyle a+b+c+d=k$라 하자.$\displaystyle a+(a+1)+(a+2)+(a+3)\le k\le(d-3)+(d-2)+(d-1)+d$이므로$\displaystyle a\le\frac{k-6}4,\quad d\ge\frac{k+6}4\qquad(\ast)$(1) $\displaystyle k=12$인 경우(*)에 의해 $\displaystyle a=1,\ d\ge5$이고 이때 가능한 경우는$\displaystyle (a,b,c,d)=(1,2,3,6),(1,2,4,5)$의 2개이다.(2) $\displaystyle k=16$인 경우(*)에 의해 $\displaystyle a\le2,\ d\ge6$이고 이때 가능한 경우는$\displaystyle a=1$일 때 $\displaystyle (a,b,c,d)=(1,2,4,9),(1,2,5,8),(1,2,6,7),(1,3,4,8),(1,3,5,7),(1,4,5,6)$$\displaystyle a=2$일 때 $\displaystyle (a,b,c,d)=(2,3,4,7),(2,3,5,6)$(3) $\displaystyle k=20$인 경우(*)에 의해 $\displaystyle a\le3,\ d\ge7$이고 이때 가능한 경우는$\displaystyle a=1$일 때 $\displaystyle (a,b,c,d)=(1,2,8,9),(1,3,7,9),(1,4,6,9),(1,4,7,8),(1,5,6,8)$$\displaystyle a=2$일 때 $\displaystyle (a,b,c,d)=(2,3,6,9),(2,3,7,8),(2,4,5,9),(2,4,6,8),(2,5,6,7)$$\displaystyle a=3$일 때 $\displaystyle (a,b,c,d)=(3,4,5,8),(3,4,6,7)$(4) $\displaystyle k=24$인 경우(*)에 의해 $\displaystyle a\le4,\ d\ge8$이고 이때 가능한 경우는$\displaystyle a=1$일 때 $\displaystyle (a,b,c,d)=(1,6,8,9)$$\displaystyle a=2$일 때 $\displaystyle (a,b,c,d)=(2,5,8,9),(2,6,7,9)$$\displaystyle a=3$일 때 $\displaystyle (a,b,c,d)=(3,4,8,9),(3,5,7,9),(3,6,7,8)$$\displaystyle a=4$일 때 $\displaystyle (a,b,c,d)=(4,5,6,9),(4,5,7,8)$(5) $\displaystyle k=28$인 경우(*)에 의해 $\displaystyle a\le5,\ d=9$이고 이때 가능한 경우는$\displaystyle (a,b,c,d)=(4,7,8,9),(5,6,8,9)$의 2개이다.위 5가지 경우는 동시에 일어나지 않으므로, 경우의 수는 $\displaystyle 2+8+12+8+2=32$개이다.

[문제 2-3] 답) (1) $\displaystyle \frac{28}3$, (2) $\displaystyle 2-\sqrt3<t<2+\sqrt3$풀이)

$\displaystyle \mathrm A(0,0),\ \mathrm B(4,0)$, 원의 중심을 $\displaystyle \mathrm E(t,1)$이라 하자 [그림 1].직선 AC의 기울기를 $\displaystyle m$이라 하면, 직선 AC의 방정식은 $\displaystyle y=mx\ (m\ne0)$이다. 직선 AC와 점 E 사이의 거리는 내접원의 반지름 1과 같으므로 $\displaystyle \frac{|1-m\frac12|}{\sqrt{m^2+1}}=1$ 따라서 $\displaystyle m=-\frac43$이다.직선 BC의 기울기를 $\displaystyle n$이라 하면, 직선 BC의 방정식은 $\displaystyle y=n(x-4)\ (n\ne0)$이다.직선 BC와 점 E 사이의 거리가 내접원의 반지름 1과 같으므로 $\displaystyle \frac{|n\frac12-1-4n|}{\sqrt{n^2+1}}=1$그러므로 $\displaystyle n=-\frac{28}{45}$이다. 직선 AC $\displaystyle y=-\frac43x$와 직선 BC $\displaystyle y=-\frac{28}{45}(x-4)$의 교점을 구하면 $\displaystyle \mathrm C\left(-\frac72,\frac{14}3\right)$이다 [그림 2].따라서 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac12\times\overline{\mathrm{AB}}\times(\mathrm C\text{의 }y\text{좌표})=\frac{28}3$이다.(2) 삼각형 ABC가 만들어지려면 $\displaystyle \mathrm A+\mathrm B<\pi$이어야 한다.즉 $\displaystyle \pi-\mathrm A>\mathrm B$이므로 $\displaystyle \frac\pi2-\frac{\mathrm A}2>\frac{\mathrm B}2$, 따라서 $\displaystyle \tan\left(\frac\pi2-\frac{\mathrm A}2\right)>\tan\frac{\mathrm B}2$이다.그런데,$\displaystyle \tan\left(\frac\pi2-\frac{\mathrm A}2\right)=\frac{\sin\left(\frac\pi2-\frac{\mathrm A}2\right)}{\cos\left(\frac\pi2-\frac{\mathrm A}2\right)}=\frac{\cos\frac{\mathrm A}2}{\sin\frac{\mathrm A}2}=\frac1{\frac{\sin\frac{\mathrm A}2}{\cos\frac{\mathrm A}2}}=\frac1{\tan\frac{\mathrm A}2}$이므로$\displaystyle \tan\frac{\mathrm A}2\tan\frac{\mathrm B}2<1$이다.$\displaystyle \tan\frac{\mathrm A}2=\frac1t,\ \tan\frac{\mathrm B}2=\frac1{4-t}$이고 $\displaystyle t(4-t)>1$ 즉 $\displaystyle t^2-4t+1<0$이므로$\displaystyle 2-\sqrt3<t<2+\sqrt3$이다.