자연계열 (오전) 1번

(1) 그림에서 삼각형 $\displaystyle APS$의 밑변의 길이는 $\displaystyle x$이고 높이의 길이는 $\displaystyle 80-y$이다. 삼각형 $\displaystyle ABC$와 삼각형 $\displaystyle APS$ 사이의 닮음비를 이용하면$\displaystyle \frac{x}{100}=\frac{80-y}{80}$정리하면 다음과 같이 $\displaystyle y$를 $\displaystyle x$에 대한 함수로 나타낼 수 있다.$\displaystyle \frac{80}{100}x=80-y\quad\Leftrightarrow\quad y=80-\frac45x$

(2) 직사각형 $\displaystyle PQRS$의 넓이는 $\displaystyle xy$이므로, 구하려는 넓이 함수 $\displaystyle G(x)$는$\displaystyle G(x)=x\left(80-\frac45x\right),\quad0\le x\le100$이다.

(3) 문제 (2) 풀이에서 구한 함수를 변형하면$\displaystyle G(x)=-\frac45(x^2-100x)=-\frac45(x-50)^2+2000$이다. 따라서 구간 $\displaystyle 0\le x\le100$에서의 이차함수 $\displaystyle G(x)$의 최댓값은 $\displaystyle x=50$일 때 $\displaystyle 2000$이다.

(4) 문제 (3) 풀이에 의하여 직사각형 $\displaystyle PQRS$의 넓이가 최대가 되는 경우에 해당하는 선분 $\displaystyle \overline{QR}$의 길이 $\displaystyle x$와 선분 $\displaystyle \overline{PQ}$의 길이 $\displaystyle y$를 구하면$\displaystyle x=50,\quad y=80-\frac{80}{100}x=40$이다. 따라서 울타리의 가로의 길이는 $\displaystyle 50$(m), 세로의 길이는 $\displaystyle 40$(m)이다.