자연계열 (오전) 2번

정적분을 이용하여 구하고자 하는 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S(a)$를 나타내면$\displaystyle S(a)=\int_{-1}^2|f(x)|\,dx=-\int_{-1}^a(x+1)(x-a)\,dx+\int_a^24(x-a)(2-x)\,dx$이다.

정적분을 구하여 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle \begin{aligned}S(a)&=-\int_{-1}^a[x^2+(1-a)x-a]\,dx+4\int_a^2[-x^2+(a+2)x-2a]\,dx\\&=-\Biggl[\frac{x^3}{3}+(1-a)\frac{x^2}{2}-ax\Biggr]_{-1}^a+4\Biggl[-\frac{x^3}{3}+(a+2)\frac{x^2}{2}-2ax\Biggr]_a^2\\&=\frac12(-a^3+9a^2-15a+11)\end{aligned}$

(2) 함수 $\displaystyle S(a)$를 $\displaystyle a$에 대해 미분하면$\displaystyle S^{\prime}(a)=\frac12(-3a^2+18a-15)=-\frac32(a-1)(a-5)$이다. 구간 $\displaystyle -1\le a\le2$에서 함수 $\displaystyle S(a)$가 극값을 가질 수 있는, 즉 $\displaystyle S^{\prime}(a)=0$을 만족하는 $\displaystyle a$를 구하면 $\displaystyle a=1$이다.

(3) 구간 $\displaystyle -1<a<2$에서 $\displaystyle S^{\prime}(a)=0$의 근에서의 함숫값 $\displaystyle S(1)$과 구간의 양 끝점에서의 함숫값 $\displaystyle S(-1)$, $\displaystyle S(2)$ 중에서 가장 작은 값이 함수 $\displaystyle S(a)$의 최솟값이고, 가장 큰 값이 함수 $\displaystyle S(a)$의 최댓값이 된다. 극값 $\displaystyle S(1)$과 함숫값 $\displaystyle S(-1)$과 $\displaystyle S(2)$를 구하면$\displaystyle S(1)=2,\quad S(-1)=18,\quad S(2)=\frac92$이다. 따라서 함수 $\displaystyle S(a)$의 최솟값은 $\displaystyle 2$, 최댓값은 $\displaystyle 18$이다.