자연계열 (오후) 1번

(1) 세 점 $\displaystyle (1,2)$, $\displaystyle (-1,4)$, $\displaystyle (-3,2)$은 원 위의 점이므로, 원의 방정식에 대입하면 다음과 같이 $\displaystyle a$, $\displaystyle b$, $\displaystyle c$에 대한 연립일차방정식을 세울 수 있다.$\displaystyle a+2b+c=-5\quad\cdots$ ①$\displaystyle -a+4b+c=-17\quad\cdots$ ②$\displaystyle -3a+2b+c=-13\quad\cdots$ ③

(2) 문제 (1)에서 구한 연립일차방정식을 풀면 다음과 같다.①+②를 하면 $\displaystyle 6b+2c=-22$ … ④$\displaystyle 3\times$①+③를 하면 $\displaystyle 8b+4c=-28$ … ⑤$\displaystyle -2\times$④+⑤를 하면 $\displaystyle -4b=16\quad\Leftrightarrow\quad b=-4$구한 $\displaystyle b=-4$를 ④에 대입하면 $\displaystyle -24+2c=-22\quad\Leftrightarrow\quad c=1$또한 $\displaystyle b=-4$와 $\displaystyle c=1$를 ①에 대입하면 $\displaystyle a+(-7)=-5\quad\Leftrightarrow\quad a=2$따라서 $\displaystyle a=2$, $\displaystyle b=-4$, $\displaystyle c=1$이다.

(3) 문제 (1)와 (2) 풀이로부터 원의 방정식은$\displaystyle x^2+y^2+2x-4y+1=0$이다. 위의 방정식을 변형하면$\displaystyle (x+1)^2+(y-2)^2=4$이 되고, 따라서 구하려는 원의 중심은 $\displaystyle (-1,2)$이고 반지름의 길이는 $\displaystyle 2$이다.

위의 그래프로부터 알 수 있듯이, 선분 $\displaystyle \overline{OQ}$의 길이의 최솟값은 원점과 원의 중심 사이의 거리에서 반지름의 길이를 뺀 것과 동일하다. 따라서 구하고자 하는 길이의 최솟값은$\displaystyle d=\sqrt{(0+1)^2+(0-2)^2}-2=\sqrt5-2$이다.