자연계열 (오후) 2번

(1) 함수 $\displaystyle f(x)$를 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+4ax+3b$이다. 조건에 의하면 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-1$에서 극솟값 $\displaystyle -1$을 가지므로$\displaystyle f^{\prime}(-1)=3-4a+3b=0,\quad f(-1)=-1+2a-3b+3=-1$을 만족해야 한다. 위의 연립일차방정식을 풀면 $\displaystyle a=3$, $\displaystyle b=3$이다.

(2) 함수 $\displaystyle f(x)=x^3+6x^2+9x+3$을 미분하면$\displaystyle f^{\prime}(x)=3x^2+12x+9=3(x+1)(x+3)$이다. 따라서 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-1$, $\displaystyle x=-3$에서 극값을 가지게 된다. $\displaystyle x=-3$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=-3$에서 극대이고, 극댓값 $\displaystyle f(-3)=3$을 가지게 된다.

위의 그림으로부터 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 직선 $\displaystyle y=3$으로 둘러싸인 영역의 넓이 $\displaystyle S$는$\displaystyle S=\int_{-3}^0\{3-(x^3+6x^2+9x+3)\}\,dx=\frac{27}{4}$이다.