자연계열 (오후) 3번

(1) $\displaystyle 12$의 약수, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$, $\displaystyle 6$, $\displaystyle 12$ 중에 짝수가 적힌 카드의 개수는 $\displaystyle 4$개, 홀수가 적힌 카드의 개수는 $\displaystyle 2$개다. 따라서 확률변수 $\displaystyle X$가 가질 수 있는 값은 $\displaystyle 0$, $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$이고, 확률변수 $\displaystyle X$의 확률질량함수는 다음과 같다.$\displaystyle P(X=x)=\frac{{}_4\mathrm{C}_x\times{}_2\mathrm{C}_{2-x}}{{}_6\mathrm{C}_2}\quad(x=0,1,2)$

(2) 확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

(3) 확률변수 $\displaystyle X$의 평균을 구하면 다음과 같다.$\displaystyle E(X)=0\times\frac1{15}+1\times\frac8{15}+2\times\frac25=\frac43$

(4) 확률변수 $\displaystyle X^2$의 평균을 구하면 다음과 같다.$\displaystyle E(X^2)=0^2\times\frac1{15}+1^2\times\frac8{15}+2^2\times\frac25=\frac{32}{15}$또한 확률변수 $\displaystyle X$의 분산은$\displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=\frac{32}{15}-\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{45}$이다. 따라서 확률변수 $\displaystyle X$의 표준편차는 $\displaystyle \sigma(X)=\frac4{3\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{15}$이다.