자연계열 A 1번

(1) $\displaystyle y=f(x-3)$은 $\displaystyle y=f(x)$가 나타내는 도형을 $\displaystyle x$축의 방향으로 $\displaystyle 3$만큼 평행이동한 도형의 방정식이다. $\displaystyle y=f(x-3)$을 그래프로 나타내면 다음과 같다.

정적분 $\displaystyle \int _{-5} ^{5} {f(x-3)} dx$는 $\displaystyle y=f(x-3)$과 $\displaystyle x$축 및 직선 $\displaystyle x=5$로 둘러싸인 도형의 넓이를 나타내므로 사다리꼴과 삼각형 넓이 공식에 의해 정적분은$\displaystyle \int _{-5} ^{5} {f(x-3)} dx = \frac{1}{2} \times 5 \times 5 + \frac{1}{2} \times \left( 5+3 \right) \times 2 = \frac{41}{2}$이다.

(2) 문제 (1)의 풀이와 유사한 방식으로 다음과 같이 $\displaystyle a_2$, $\displaystyle a_3$의 값을 구할 수 있다.$\displaystyle a_2 = \int _{-5} ^{5} {f(x-6)} dx = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$$\displaystyle a_3 = \int _{-5} ^{5} {f(x-9)} dx = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = \frac{1}{2}$반면에 $\displaystyle n \ge 4$일 때는 구간 $\displaystyle \left[ -5 , 5\right]$에서 $\displaystyle f(x-3n)=0$이므로$\displaystyle a_n =0$ ($\displaystyle n \ge 4$)이다. 따라서 구하려는 합은$\displaystyle \sum _{n=1} ^{20} a_n = a_1 + a_2 + a_3 = \frac{41}{2} + 8 + \frac{1}{2} = 29$이다.