자연계열 A 3번

함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle \left[ a, b \right]$에서 연속이고 $\displaystyle f(x) \ge 0$일 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축 및 두 직선 $\displaystyle x=a$, $\displaystyle x=b$로 둘러싸인 도형의 넓이 $\displaystyle S$를 구하여 보자.닫힌 구간 $\displaystyle \left[ a, b \right]$를 $\displaystyle n$등분하여 양 끝 점을 포함한 각 분점의 $\displaystyle x$좌표를 차례로$\displaystyle a=x_0$, $\displaystyle x_1$, $\displaystyle x_2$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle x_{n-1}$, $\displaystyle x_n = b$라 하고, 각 소구간의 길이를 $\displaystyle \Delta x$라 하면$\displaystyle \Delta x = \frac{b-a}{n}$이다.

그림과 같이 $\displaystyle \Delta x$를 밑변의 길이로 하고, 각 소구간의 오른쪽 끝에서의 함숫값을 높이로 하는 $\displaystyle n$개의 직사각형을 만들면 이 직사각형들의 넓이의 합 $\displaystyle S_n$은$\displaystyle S_n = f(x_1 ) \Delta x + f(x_2 ) \Delta x + \cdots + f(x_n ) \Delta x = \sum_{k=1}^n f(x_k ) \Delta x$이다. 여기서 $\displaystyle n$이 한없이 커지면 $\displaystyle S_n$은 구하는 도형의 넓이 $\displaystyle S$에 한없이 가까워진다. 즉$\displaystyle S = \lim_{n \rightarrow \infty} {S_n} = \lim_{n \rightarrow \infty} {\sum_{k=1}^n f(x_k ) \Delta x }$이다.일반적으로 함수 $\displaystyle f(x)$가 닫힌 구간 $\displaystyle \left[ a, b \right]$에서 연속이면 극한값 $\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty } {\sum_{k=1}^n f(x_k ) \Delta x }$가 항상 존재함이 알려져 있다.이 극한값을 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle b$까지의 ‘정적분’이라 하고, 기호로$\displaystyle \int_a^b {f(x)} dx$와 같이 나타낸다. 이때 $\displaystyle \int_a^b {f(x)} dx$의 값을 구하는 것을 함수 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle b$까지 적분한다고 한다.