자연계열 A 3번

(1) 주머니 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle k$($\displaystyle 1 \le k \le n$)라고 적힌 카드가 나올 때, 다른 $\displaystyle 2$개의 주머니에서는 $\displaystyle k+1$, $\displaystyle k+2$, $\displaystyle k+3$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle n$이라고 적힌 카드 중 어느 하나가 나와야 되므로 구하는 확률 $\displaystyle P_n$은 $\displaystyle k$의 값이 $\displaystyle 1$, $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle n$까지의 값을 취하는 각 경우의 합사건의 확률이다.주머니 $\displaystyle A$에서 $\displaystyle k$가 나올 확률은 $\displaystyle \frac{1}{n}$이고, 주머니 $\displaystyle B$와 $\displaystyle C$에서 $\displaystyle k+1$, $\displaystyle k+2$, $\displaystyle k+3$, $\displaystyle \cdots$, $\displaystyle n$ 중 하나가 나올 확률은 $\displaystyle \frac{n-k}{n} = 1- \frac{k}{n}$이다. 따라서 구하려는 확률 $\displaystyle P_n$은$\displaystyle P_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \left( 1 - \frac{k}{n} \right)^2$이다.

(2) 정적분의 정의를 이용하면$\displaystyle \begin{aligned}\lim _{n \to \infty } { P _{n}} & = \lim _{n \to \infty } { \sum _{k=1} ^{n} \frac{1}{n} \left ( 1- \frac{k}{n} \right ) ^{2}}\\ & = \int _{0} ^{1} {\left ( 1-x \right ) ^{2}} dx\\ & = \Biggl[ x-x ^{2} + \frac{x ^{3}}{3} \Biggr] _{x=0}^{1}\\ & = \frac{1}{3}\end{aligned}$이다.