자연계열 B 2번

(1) 출발한지 $\displaystyle \frac{1}{2}$시간 동안 이동한 거리를 정적분으로 나타내면$\displaystyle \int_0^{1/2} {10 t} dt = 5 t^2 \big]_{t=0}^{1/2} = \frac{5}{4}$이다.

마찬가지로 $\displaystyle t= \frac{1}{2}$일 때부터 $\displaystyle t=1$일 때까지 이동한 거리는$\displaystyle \int_{1/2}^1 {(20 t - 5)} dt = 10 t^2 - 5 t \big]_{t=1/2}^1 = 5$이다.

따라서 구하려는 1시간 동안 이동한 거리는 $\displaystyle \frac{5}{4} + 5 = \frac{25}{4}$이다.

(2) $\displaystyle t=a$(단, $\displaystyle a \ge \frac{1}{2}$)일 때 고사장에 도착하였다고 가정하자. 출발한지 $\displaystyle \frac{1}{2}$시간 동안 $\displaystyle \frac{5}{4}$만큼 이동하였으므로, $\displaystyle t= \frac{1}{2}$일 때부터 $\displaystyle t=a$일 때까지 이동한 거리는$\displaystyle \frac{85}{8} - \frac{5}{4} = \frac{75}{8}$ --- ①이다.

반면에 정적분을 이용하여 $\displaystyle t= \frac{1}{2}$일 때부터 $\displaystyle t=a$일 때까지 이동한 거리를 나타내면$\displaystyle \int_{1/2}^a {(20 t - 5)} dt = 10 t^2 - 5 t \big]_{t=1/2}^a = 10a^2 - 5a$ --- ②이다.

식 ①과 ②는 같아야 하므로 다음과 같은 방정식을 도출할 수 있다.$\displaystyle 10 a^2 - 5 a = \frac{75}{8}$ ⇔ $\displaystyle \frac{5}{8} \left( 4a-5 \right) \left( 4a+3 \right)=0$따라서 $\displaystyle a= \frac{5}{4}$(단, $\displaystyle a \ge \frac{1}{2}$)이다.

즉, $\displaystyle A$군은 출발한지 $\displaystyle \frac{5}{4}$시간 후에 고사장에 도착할 것이다.