자연계열 A 2번

(1) 삼각형 $\displaystyle ACB$의 밑변을 선분 $\displaystyle AB$라 하면 삼각형의 높이는 $\displaystyle t+1$이다.

실수 $\displaystyle t$에 대하여 점 $\displaystyle A$와 $\displaystyle B$의 좌표는$\displaystyle A(t, -t^2 +t +2)$, $\displaystyle B(t, t^3 -3t-2)$이다. $\displaystyle -1 < t <2$인 실수 $\displaystyle t$에 대하여$\displaystyle -t^2 + t +2 > t^3 - 3t-2$ ⇔ $\displaystyle (t+1)(4-t^2 )>0$이므로

선분 $\displaystyle AB$의 길이는$\displaystyle (-t^2 + t+2)-(t^3 - 3t-2)$이다.

따라서 삼각형 $\displaystyle ACB$의 넓이 $\displaystyle S(t)$는$\displaystyle S(t) = \frac{1}{2} \times (t+1) \times \left\{ (-t^2 + t+2)-(t^3 - 3t-2) \right\}= \frac{1}{2} (t+1)^2 (4-t^2 )$이다.

(2) 문제 (1)에서 구한$\displaystyle S(t) = \frac{1}{2} (t+1)^2 (4-t^2 ) = \left( \frac{1}{2} t^2 + t + \frac{1}{2} \right) (4-t^2 )$를 미분하면$\displaystyle S '(t)=(t+1)(-2t^2 - t +4)$이다.

$\displaystyle S '(t)=0$을 만족하는 $\displaystyle t$의 값을 구하면$\displaystyle t= -1$ 또는 $\displaystyle t= \frac{-1 \pm \sqrt {33} }{4}$이고, 구간 $\displaystyle -1 <t <2$에서 함수 $\displaystyle S(t)$의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

삼각형 $\displaystyle ACB$의 넓이는 $\displaystyle t= \frac{-1 + \sqrt {33} }{4}$일 때 최대이고, 따라서 구하려는 $\displaystyle a$의 값은$\displaystyle a= \frac{-1 + \sqrt {33} }{4}$이다.