자연계열 B 3번

한국기술교육대 2020학년도 모의 자연계열 B 3번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2020mo/jayeonb_3

두 상자 $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ 에는 각각 흰 구슬 $\displaystyle 2$ 개와 빨간 구슬 $\displaystyle 2$ 개가 들어있다. 이때, 각 상자에서 동시에 구슬 $\displaystyle 1$ 개씩을 꺼내어, $\displaystyle A$ 에서 꺼낸 구슬은 $\displaystyle B$ 에, $\displaystyle B$ 에서 꺼낸 구슬은 $\displaystyle A$ 에 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 반복하였을 때, 다음 물음에 답하시오. (20점)

(1) 문제에서 정의된 시행을 총 $\displaystyle 2$ 회 완료하였을 때, 상자 $\displaystyle A$ 에 들어있는 구슬 $\displaystyle 2$ 개가 모두 빨간색일 확률을 구하시오. (10점)

(2) 문제에서 정의된 시행을 총 $\displaystyle 3$ 회 완료하였을 때, 상자 $\displaystyle A$ 에 들어있는 구슬이 흰 구슬 $\displaystyle 1$ 개와 빨간 구슬 $\displaystyle 1$ 개일 확률을 구하시오. (10점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2020학년도 모의 자연계열 B 3번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2020mo/jayeonb_3

+5점 · 총

\displaystyle 1

회 시행하였을 때, 상자

\displaystyle A

에 들어있는 구슬은 흰 구슬

\displaystyle 1

개와 빨간 구슬

\displaystyle 1

개인 경우 밖에 없음을 보일 수 있다.

(1) 다음 표는 상자 $\displaystyle A$ 에 들어있는 구슬에 대한 경우에 따른 확률을 나타낸 것이다. 단, ○는 흰색을 의미하고 ●는 빨간색을 의미한다.

1회	확률	2회	확률	설명
○●	1	●●	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle A$ 에서 ○을 꺼내고 $\displaystyle B$ 에서 ●을 꺼내서 교환
		○○	$\displaystyle \frac{1}{4}$	$\displaystyle A$ 에서 ●을 꺼내고 $\displaystyle B$ 에서 ○을 꺼내서 교환
		○●	$\displaystyle \frac{1}{2}$	(1) $\displaystyle A$ 에서 ○을 꺼내고 $\displaystyle B$ 에서 ○을 꺼내서 교환 (2) $\displaystyle A$ 에서 ●을 꺼내고 $\displaystyle B$ 에서 ●을 꺼내서 교환

+5점 · 총

\displaystyle 2

회 시행하였을 때, 상자

\displaystyle A

에 들어있는 구슬

\displaystyle 2

개가 모두 빨간색일 확률은

\displaystyle \frac{1}{4}

임을 보일 수 있다.

따라서 상자 $\displaystyle A$ 에 들어있는 구슬 $\displaystyle 2$ 개가 모두 빨간색일 확률은 $\displaystyle \frac{1}{4}$ 이다.

+5점 · 총

\displaystyle 3

회 시행하였을 때, 상자

\displaystyle A

에 들어있는 구슬이 흰 구슬

\displaystyle 1

개와 빨간 구슬

\displaystyle 1

개인 경우를 모두 살필 수 있다. 참고로

\displaystyle 3

회 시행하였을 때, 흰 구슬

\displaystyle 1

개와 빨간 구슬

\displaystyle 1

개가 되는 모든 경우는 문제 (2)의 풀이 내의 표에 제시되어 있다.

(2) 문제 (1)의 풀이 결과를 이용하여, 총 $\displaystyle 3$ 회의 시행을 완료하였을 때 상자 $\displaystyle A$ 에 들어있는 구슬에 대한 경우에 따른 확률을 나타내면 다음과 같다.

2회	확률	3회	확률	설명
●●	$\displaystyle \frac{1}{4}$	○●	$\displaystyle \frac{1}{4}$ ☆	$\displaystyle A$ 에서 ●을 꺼내고 $\displaystyle B$ 에서 ○을 꺼내서 교환
○○	$\displaystyle \frac{1}{4}$	○●	$\displaystyle \frac{1}{4}$ ☆	$\displaystyle A$ 에서 ○을 꺼내고 $\displaystyle B$ 에서 ●을 꺼내서 교환
○●	$\displaystyle \frac{1}{2}$	●●	$\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$	$\displaystyle A$ 에서 ○을 꺼내고 $\displaystyle B$ 에서 ●을 꺼내서 교환
		○○	$\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$	$\displaystyle A$ 에서 ●을 꺼내고 $\displaystyle B$ 에서 ○을 꺼내서 교환
		○●	$\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ☆	(1) $\displaystyle A$ 에서 ○을 꺼내고 $\displaystyle B$ 에서 ○을 꺼내서 교환 (2) $\displaystyle A$ 에서 ●을 꺼내고 $\displaystyle B$ 에서 ●을 꺼내서 교환

+5점 · 총

\displaystyle 3

회 시행하였을 때, 상자

\displaystyle A

에 들어있는 구슬이 흰 구슬

\displaystyle 1

개와 빨간 구슬

\displaystyle 1

개가 될 확률은

\displaystyle \frac{3}{4}

임을 보일 수 있다.

따라서 상자 $\displaystyle A$ 에 들어있는 구슬이 흰 구슬 $\displaystyle 1$ 개와 빨간 구슬 $\displaystyle 1$ 개일 확률은 $\displaystyle \frac{3}{4}$ 이다. 참고로 이해를 돕기 위해 상자 $\displaystyle A$ 에 들어있는 구슬이 흰 구슬 $\displaystyle 1$ 개와 빨간 구슬 $\displaystyle 1$ 개일 경우에는 ☆ 표시하였다.

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