자연계열 (오전) 1번

▶ $\displaystyle \overline{MP}=a$라 하면 $\displaystyle \overline{AP}=\overline{BP}=\sqrt{1+a^2}$이고, 연결 비용은 $\displaystyle 2\sqrt{1+a^2}\times\sqrt{1+a^2}=2(1+a^2)$이다.마찬가지로 $\displaystyle \overline{CQ}=\overline{DQ}=\sqrt{1+a^2}$이고, 연결 비용은 $\displaystyle 2\sqrt{1+a^2}\times\sqrt{1+a^2}=2(1+a^2)$이다또한 $\displaystyle \overline{PQ}=2-2a$이고, 연결 비용은 $\displaystyle (2-2a)\times(1-a)^2$이다.$\displaystyle a=\frac12$일 때, 각각의 연결 비용은 각각 $\displaystyle 2\times\left\{1+\left(\frac12\right)^2\right\}=\frac52$, $\displaystyle 2\times\left\{1+\left(\frac12\right)^2\right\}=\frac52$, $\displaystyle 1\times\left(\frac12\right)^2=\frac14$이다.따라서 $\displaystyle a=\frac12$일 때, 케이블의 총 연결 비용은 $\displaystyle \frac52+\frac52+\frac14=\frac{21}{4}$이다.

▶ 문제(1)에서 구한 연결 비용이 각각 $\displaystyle 2(1+a^2)$, $\displaystyle 2(1+a^2)$, $\displaystyle (2-2a)\times(1-a)^2$이므로$\displaystyle \begin{aligned}f(a)&=4(1+a^2)+(2-2a)\times(1-a)^2=4(1+a^2)+2(-a^3+3a^2-3a+1)\\&=2(-a^3+5a^2-3a+3)\end{aligned}$이 된다.함수 $\displaystyle f(a)$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=-2(3a^2-10a+3)=-2(3a-1)(a-3)$이다.$\displaystyle 0\le a\le1$에서 $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$인 $\displaystyle a$를 구하면 $\displaystyle a=\frac13$이다.$\displaystyle a=\frac13$에서 $\displaystyle f^{\prime}(a)$의 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로 $\displaystyle a=\frac13$에서 극값을 가진다.따라서 $\displaystyle f(a)$의 극값을 구하면$\displaystyle f\left(\frac13\right)=2\times\left\{-\left(\frac13\right)^3+5\left(\frac13\right)^2-3\left(\frac13\right)+3\right\}=\frac{136}{27}$

▶ 문제 (2)에서 구한 극값 $\displaystyle f\left(\frac13\right)=\frac{136}{27}$과 양끝점에서의 함수값 $\displaystyle f(0)=6$, $\displaystyle f(1)=8$을 비교하면 최댓값은 $\displaystyle f(1)=8$이고, 최솟값은 $\displaystyle f\left(\frac13\right)=\frac{136}{27}$이다.