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자연계열 (오전) 2번

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한국기술교육대 2020학년도 수시 자연계열 (오전) 2번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2020su/jayeon_am_2

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문제

두 점 (0,1)\displaystyle (0,1), (−4,3)\displaystyle (-4,3)을 지나는 무리함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 그래프가 다음 그림과 같다.

무리함수와 y축 및 직선 y=3으로 둘러싸인 영역 S

무리함수 f(x)=ax+b+c\displaystyle f(x)=\sqrt{ax+b}+c일 때, 다음 물음에 답하시오. (단, a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c는 상수이다.)

(1) 상수 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c의 값을 구하여라. (5점)

(2) 무리함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 역함수 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)를 구하고, 역함수 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)의 정의역을 구하여라. (5점)

(3) 무리함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y\displaystyle y축 및 직선 y=3\displaystyle y=3으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S\displaystyle S라고 하자. 문제 (2)에서의 역함수 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)를 이용하면 도형의 넓이 S\displaystyle S는 아래 [보기]와 같이 정적분의 형태로 나타낼 수 있다.

[보기]S=∫αβ∣f−1(x)∣ dx\displaystyle S=\int_\alpha^\beta|f^{-1}(x)|\,dx (단, α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta는 상수이다.)

이를 활용하여 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta의 값을 찾고, 넓이 S\displaystyle S를 구하여라. (단, 역함수 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)를 이용하지 않으면 점수를 부여하지 않는다.) (10점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2020학년도 수시 자연계열 (오전) 2번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2020su/jayeon_am_2

(1) 상수 a\displaystyle a, b\displaystyle b, c\displaystyle c의 값을 구하여라. (5점)

+5점 · a=−1\displaystyle a=-1, b=0\displaystyle b=0, c=1\displaystyle c=1을 모두 구할 수 있다.

▶ f(x)=ax+b+c\displaystyle f(x)=\sqrt{ax+b}+c에서 정의역과 치역이 각각 {x∣x≤0}\displaystyle \{x\mid x\le0\}, {y∣y≥1}\displaystyle \{y\mid y\ge1\}이므로 f(x)=ax+1\displaystyle f(x)=\sqrt{ax}+1을 만족한다. 또한 f(x)=ax+1\displaystyle f(x)=\sqrt{ax}+1이 (−4,3)\displaystyle (-4,3)을 지나므로 이를 대입하면 a=−1\displaystyle a=-1이다. f(x)=−x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{-x}+1을 만족한다. 따라서 a=−1\displaystyle a=-1, b=0\displaystyle b=0, c=1\displaystyle c=1이다.

(2) 무리함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)의 역함수 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)를 구하고, 역함수 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)의 정의역을 구하여라. (5점)

+3점 · 역함수 y=−(x−1)2\displaystyle y=-(x-1)^2을 구할 수 있다.

▶ f(x)=−x+1\displaystyle f(x)=\sqrt{-x}+1에서 역함수를 구하면 x=−y+1\displaystyle x=\sqrt{-y}+1이고, 이를 정리하면y=−(x−1)2(x≥1)\displaystyle y=-(x-1)^2\quad(x\ge1)이다.

+2점 · 정의역 {x∣x≥1}\displaystyle \{x\mid x\ge1\}을 구할 수 있다.

또한 역함수의 정의역은 {x∣x≥1}\displaystyle \{x\mid x\ge1\}이다.

(3) 무리함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y\displaystyle y축 및 직선 y=3\displaystyle y=3으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S\displaystyle S라고 하자. 문제 (2)에서의 역함수 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)를 이용하면 도형의 넓이 S\displaystyle S는 아래 [보기]와 같이 정적분의 형태로 나타낼 수 있다.[보기]S=∫αβ∣f−1(x)∣ dx\displaystyle S=\int_\alpha^\beta|f^{-1}(x)|\,dx (단, α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta는 상수이다.)이를 활용하여 α\displaystyle \alpha와 β\displaystyle \beta의 값을 찾고, 넓이 S\displaystyle S를 구하여라. (단, 역함수 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)를 이용하지 않으면 점수를 부여하지 않는다.) (10점)

+5점 · α=1\displaystyle \alpha=1, β=3\displaystyle \beta=3을 구할 수 있다.

▶ 그림에서 무리함수 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 y\displaystyle y축 및 직선 y=3\displaystyle y=3으로 둘러싸인 도형의 y\displaystyle y의 범위는 1≤y≤3\displaystyle 1\le y\le3이다.따라서 역함수 y=f−1(x)\displaystyle y=f^{-1}(x)와 x\displaystyle x축 및 직선 x=3\displaystyle x=3으로 둘러싸인 도형의 x\displaystyle x의 범위는 1≤x≤3\displaystyle 1\le x\le3이고, 이로부터 α=1\displaystyle \alpha=1, β=3\displaystyle \beta=3이다.

+5점 · S=∫13∣f−1(x)∣ dx=83\displaystyle S=\int_1^3|f^{-1}(x)|\,dx=\frac83을 구할 수 있다.

또한 넓이 S\displaystyle S를 구하면S=∫13∣f−1(x)∣ dx=∫13∣−(x−1)2∣ dx=83\displaystyle S=\int_1^3|f^{-1}(x)|\,dx=\int_1^3|-(x-1)^2|\,dx=\frac83이다.

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