자연계열 (오후) 3번

한국기술교육대 2020학년도 수시 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2020su/jayeon_pm_3

【(1)~(3)】 $\displaystyle 1$ 부터 $\displaystyle 6$ 까지 자연수 중 한 개를 선택한 후, 주사위 $\displaystyle 3$ 개를 던져서 선택된 숫자가 나온 주사위의 개수에 따라 구슬을 획득하는 게임이 있다. 게임의 방식은 다음과 같을 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 모든 주사위는 $\displaystyle 1$ 부터 $\displaystyle 6$ 까지 나올 확률이 $\displaystyle \frac16$ 로 동일하다.)

① 게임에 참여하기 위해서는 구슬 $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>0$ )개를 내야한다.② 선택한 숫자와 일치하는 주사위의 개수가 $\displaystyle 1$ 개일 때는 낸 구슬 개수의 $\displaystyle 2$ 배, $\displaystyle 2$ 개일 때는 $\displaystyle 3$ 배, $\displaystyle 3$ 개일 때는 $\displaystyle 5$ 배 되돌려 받는다.③ 만약 선택한 숫자와 일치하는 주사위가 없다면 되돌려 받는 구슬은 없다.

(1) 게임 참여자가 선택한 숫자와 일치하는 주사위의 개수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라 할 때, 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포를 표로 나타내어라. (7점)

$\displaystyle X$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	합계
$\displaystyle P(X=x)$					$\displaystyle 1$

(2) 구슬 $\displaystyle a$ 개를 내고 게임에 참여했다면 되돌려 받을 구슬 개수의 기댓값을 구하여라. (7점)

(3) 되돌려 받는 구슬 개수의 기댓값이 $\displaystyle 500$ 개가 되기 위해서 게임 참여자가 내야하는 구슬의 개수를 구하여라. (6점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2020학년도 수시 자연계열 (오후) 3번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2020su/jayeon_pm_3

(1) 게임 참여자가 선택한 숫자와 일치하는 주사위의 개수를 확률변수 $\displaystyle X$ 라 할 때, 다음과 같이 확률변수 $\displaystyle X$ 의 확률분포를 표로 나타내어라. (7점)

+7점 · 확률분포표를 옳게 만들 수 있다.

▶ 게임 참여자가 선택한 숫자와 일치하는 주사위의 눈이 나올 확률은 $\displaystyle \frac16$ 이다. $\displaystyle X=0$ 이면 주사위의 눈이 일치하는 경우가 없으므로 $\displaystyle P(X=0)={}_3\mathrm{C}_0\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}$ 이다. $\displaystyle X=1$ 이면 주사위의 눈이 일치하는 경우가 1번이므로 $\displaystyle P(X=1)={}_3\mathrm{C}_1\left(\frac16\right)^1\left(\frac56\right)^2=\frac{25}{72}$ 이다. $\displaystyle X=2$ 이면 주사위의 눈이 일치하는 경우가 2번이므로 $\displaystyle P(X=2)={}_3\mathrm{C}_2\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^1=\frac5{72}$ 이다. $\displaystyle X=3$ 이면 주사위의 눈이 일치하는 경우가 3번이므로 $\displaystyle P(X=3)={}_3\mathrm{C}_3\left(\frac16\right)^3=\frac1{216}$ 이다.이를 확률분포표로 나타내면 아래와 같다.

$\displaystyle X$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle 3$	합계
$\displaystyle P(X=x)$	$\displaystyle \frac{125}{216}$	$\displaystyle \frac{25}{72}$	$\displaystyle \frac5{72}$	$\displaystyle \frac1{216}$	$\displaystyle 1$

(2) 구슬 $\displaystyle a$ 개를 내고 게임에 참여했다면 되돌려 받을 구슬 개수의 기댓값을 구하여라. (7점)

▶ 구슬 $\displaystyle a$ 개를 내고 되돌려 받는 구슬의 개수를 확률변수 $\displaystyle Y$ 라 할 때, 이를 확률분포표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle Y$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 2a$	$\displaystyle 3a$	$\displaystyle 5a$	합계
$\displaystyle P(Y=y)$	$\displaystyle \frac{125}{216}$	$\displaystyle \frac{25}{72}$	$\displaystyle \frac5{72}$	$\displaystyle \frac1{216}$	$\displaystyle 1$

+7점 · 기댓값

\displaystyle \frac{25}{27}a

를 구할 수 있다.

이산확률변수 $\displaystyle Y$ 의 기댓값을 구하면 $\displaystyle E(Y)=0\times\frac{125}{216}+2a\times\frac{25}{72}+3a\times\frac5{72}+5a\times\frac1{216}=\frac{25}{27}a$ 이다.

(3) 되돌려 받는 구슬 개수의 기댓값이 $\displaystyle 500$ 개가 되기 위해서 게임 참여자가 내야하는 구슬의 개수를 구하여라. (6점)

+6점 · 게임 참여자가 내야하는 구슬의 개수

\displaystyle 540

개를 구할 수 있다.

▶ 되돌려 받는 구슬 개수의 기댓값이 $\displaystyle 500$ 개가 되기 위해서는 $\displaystyle \frac{25}{27}a=500$ 이 성립해야 한다. 따라서 게임 참여자가 내야하는 구슬의 개수는 $\displaystyle a=500\times\frac{27}{25}=540$ 개 이다.

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