자연계열 (오후) 3번

▶ 게임 참여자가 선택한 숫자와 일치하는 주사위의 눈이 나올 확률은 $\displaystyle \frac16$이다.$\displaystyle X=0$이면 주사위의 눈이 일치하는 경우가 없으므로 $\displaystyle P(X=0)={}_3\mathrm{C}_0\left(\frac56\right)^3=\frac{125}{216}$이다.$\displaystyle X=1$이면 주사위의 눈이 일치하는 경우가 1번이므로 $\displaystyle P(X=1)={}_3\mathrm{C}_1\left(\frac16\right)^1\left(\frac56\right)^2=\frac{25}{72}$이다.$\displaystyle X=2$이면 주사위의 눈이 일치하는 경우가 2번이므로 $\displaystyle P(X=2)={}_3\mathrm{C}_2\left(\frac16\right)^2\left(\frac56\right)^1=\frac5{72}$이다.$\displaystyle X=3$이면 주사위의 눈이 일치하는 경우가 3번이므로 $\displaystyle P(X=3)={}_3\mathrm{C}_3\left(\frac16\right)^3=\frac1{216}$이다.이를 확률분포표로 나타내면 아래와 같다.

이산확률변수 $\displaystyle Y$의 기댓값을 구하면$\displaystyle E(Y)=0\times\frac{125}{216}+2a\times\frac{25}{72}+3a\times\frac5{72}+5a\times\frac1{216}=\frac{25}{27}a$이다.

▶ 되돌려 받는 구슬 개수의 기댓값이 $\displaystyle 500$개가 되기 위해서는 $\displaystyle \frac{25}{27}a=500$이 성립해야 한다. 따라서 게임 참여자가 내야하는 구슬의 개수는 $\displaystyle a=500\times\frac{27}{25}=540$개 이다.