자연계열 (오후) 1번

▶ 두 점 $\displaystyle P_1(-1,-1)$, $\displaystyle P_2(1,1)$에 대하여 조건을 만족하는 두 점 $\displaystyle Q_1$과 $\displaystyle Q_2$는 각각 $\displaystyle Q_1(-1,-a^2+a)$, $\displaystyle Q_2(1,a^2+a)$이므로 $\displaystyle \overline{P_1Q_1}=|a^2-a-1|$, $\displaystyle \overline{P_2Q_2}=|a^2+a-1|$이다. 함수 $\displaystyle f(a)$를 구하면$\displaystyle f(a)=\overline{P_1Q_1}^2+\overline{P_2Q_2}^2=(a^2-a-1)^2+(a^2+a-1)^2=2a^4-2a^2+2$이고, 따라서 $\displaystyle f(1)=2-2+2=2$이다.

▶ 함수 $\displaystyle f(a)=2a^4-2a^2+2$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(a)=8a^3-4a=4a(2a^2-1)$이고, $\displaystyle f^{\prime}(a)=0$을 만족하는 $\displaystyle a$의 값을 구하면 $\displaystyle a=-\frac1{\sqrt2},0,\frac1{\sqrt2}$이다. $\displaystyle -2\le a\le2$에서 함수 $\displaystyle f(a)$는 세 개의 극값을 가지고 $\displaystyle f(a)$의 극값을 구하면$\displaystyle f\left(-\frac1{\sqrt2}\right)=f\left(\frac1{\sqrt2}\right)=2\left(\frac1{\sqrt2}\right)^4-2\left(\frac1{\sqrt2}\right)^2+2=\frac12-1+2=\frac32$과 $\displaystyle f(0)=2$이다.

▶ 문제 (2)에서 구한 극값 $\displaystyle f\left(-\frac1{\sqrt2}\right)=f\left(\frac1{\sqrt2}\right)=\frac32$과 $\displaystyle f(0)=2$, 양끝점인 $\displaystyle f(-2)=26$, $\displaystyle f(2)=26$을 비교하면 최댓값은 $\displaystyle f(-2)=f(2)=26$이고, 최솟값은 $\displaystyle f\left(-\frac1{\sqrt2}\right)=f\left(\frac1{\sqrt2}\right)=\frac32$이다.