자연계열 (오전) 3번

한국기술교육대 2020학년도 수시 자연계열 (오전) 3번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2020su/jayeon_am_3

어느 해의 프로야구 상위 $\displaystyle 4$ 팀에 대한 기록이 아래 표와 같다고 가정하자. 상위 $\displaystyle 4$ 팀을 포함하여 모든 팀은 $\displaystyle 3$ 경기씩 남겨 두고 있으며, $\displaystyle A$ 팀은 남은 $\displaystyle 3$ 경기를 모두 $\displaystyle D$ 팀과 진행하고, $\displaystyle B$ 팀은 남은 $\displaystyle 3$ 경기를 모두 $\displaystyle C$ 팀과 진행한다. 모든 경기 결과는 서로 독립이며, 각 경기에서 승리할 확률은 모든 팀이 동일하다고 가정할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 모든 경기에서 비기는 경우는 없으며, 공동 우승도 우승으로 간주한다.)

팀	승	패
$\displaystyle A$ 팀	$\displaystyle 53$	$\displaystyle 44$
$\displaystyle B$ 팀	$\displaystyle 52$	$\displaystyle 45$
$\displaystyle C$ 팀	$\displaystyle 52$	$\displaystyle 45$
$\displaystyle D$ 팀	$\displaystyle 49$	$\displaystyle 48$

(1) $\displaystyle A$ 팀이 남은 $\displaystyle 3$ 경기 중 $\displaystyle 2$ 경기를 승리해서 우승할 확률을 구하여라. (5점)

(2) $\displaystyle A$ 팀이 남은 $\displaystyle 3$ 경기 중 $\displaystyle 1$ 경기를 승리해서 우승할 확률을 구하여라. (5점)

(3) $\displaystyle A$ 팀이 최종 우승할 확률을 구하여라. (10점)

해설강의 준비중

한국기술교육대 2020학년도 수시 자연계열 (오전) 3번 · mathesis.kr/archive/koreatech/2020su/jayeon_am_3

(1) $\displaystyle A$ 팀이 남은 $\displaystyle 3$ 경기 중 $\displaystyle 2$ 경기를 승리해서 우승할 확률을 구하여라. (5점)

+5점 ·

\displaystyle A

팀이 남은

\displaystyle 3

경기 중

\displaystyle 2

경기를 승리할 확률

\displaystyle \frac38

을 구할 수 있다.

▶ $\displaystyle A$ 팀이 남은 $\displaystyle 3$ 경기 중 $\displaystyle 2$ 경기를 승리하면 $\displaystyle B$ 와 $\displaystyle C$ 의 결과에 상관없이 우승하게 되며, 이 확률을 구하면 $\displaystyle {}_3\mathrm{C}_2\left(\frac12\right)^2\left(\frac12\right)=\frac38$ 이다.

(2) $\displaystyle A$ 팀이 남은 $\displaystyle 3$ 경기 중 $\displaystyle 1$ 경기를 승리해서 우승할 확률을 구하여라. (5점)

+5점 ·

\displaystyle A

팀이 남은

\displaystyle 3

경기 중

\displaystyle 1

경기를 승리할 확률

\displaystyle \frac9{32}

를 구할 수 있다.

Correction. 채점기준의 $\displaystyle \frac9{32}$ 는 1승만 할 확률이 아니라 1승하면서 우승할 확률이다. 1승만 할 확률은 $\displaystyle \frac38$ 이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

▶ $\displaystyle A$ 팀이 남은 $\displaystyle 3$ 경기 중 $\displaystyle 1$ 경기를 승리하고도 우승하려면, $\displaystyle B$ 와 $\displaystyle C$ 중 한 팀이 3경기를 모두 이기는 경우만 제외하면 된다. $\displaystyle A$ 팀이 남은 $\displaystyle 3$ 경기 중 $\displaystyle 1$ 경기를 승리하는 확률은 $\displaystyle {}_3\mathrm{C}_1\left(\frac12\right)^1\left(\frac12\right)^2=\frac38$ 이다. 그리고 $\displaystyle B$ 와 $\displaystyle C$ 중 한 팀이 3경기를 모두 이기는 경우의 확률은 $\displaystyle 2\times{}_3\mathrm{C}_3\left(\frac12\right)^3=\frac28$ 이다.따라서 구하고자 하는 확률은 $\displaystyle \frac38\times\left(1-\frac28\right)=\frac9{32}$ 이다.

(3) $\displaystyle A$ 팀이 최종 우승할 확률을 구하여라. (10점)

+5점 ·

\displaystyle A

팀이 남은

\displaystyle 3

경기 중

\displaystyle 3

경기를 모두 승리할 확률

\displaystyle \frac18

을 구할 수 있다.

▶ $\displaystyle A$ 팀이 최종 우승하는 경우는 아래와 같다.(ⅰ) 3경기를 모두 이기는 경우: $\displaystyle B$ 와 $\displaystyle C$ 의 결과에 상관없이 최종 우승하게 되므로, 이 경우의 확률을 구하면 $\displaystyle {}_3\mathrm{C}_3\left(\frac12\right)^3=\frac18$ 이다.

+5점 · 세 가지 경우를 고려한

\displaystyle \frac18+\frac38+\frac9{32}=\frac{25}{32}

를 구할 수 있다.

(ⅱ) 2경기를 이기고 우승하는 경우: 문제 (1)의 확률과 같다.(ⅲ) 1경기를 이기고 우승하는 경우: 문제 (2)의 확률과 같다.그러므로 $\displaystyle A$ 팀이 최종 우승할 확률은 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)의 합과 같다.이를 계산하면 $\displaystyle \frac18+\frac38+\frac9{32}=\frac{25}{32}$ 이다.

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